مقایسه احتمال و نتایج آزمایش: آیا پیش‌بینی‌های ما درست از آب درمی‌آیند؟
احتمال چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
احتمال، معیاری عددی برای سنجش شانس رخ دادن یک رویداد است. اگر بخواهیم احتمال رویدادی را محاسبه کنیم، از فرمول ساده‌ای استفاده می‌کنیم:
برای درک بهتر، پرتاب یک تاس سالم را در نظر بگیرید. یک تاس استاندارد شش وجه دارد. احتمال آمدن عدد 4 چقدر است؟
- تعداد حالت‌های مطلوب (آمدن عدد 4): 1 حالت
- تعداد کل حالت‌های ممکن: 6 حالت
- در نتیجه، احتمال این رویداد برابر است با: $ P = \frac{1}{6} $
این عدد به ما می‌گوید که اگر تاس کاملاً سالم باشد و آن را بارها پرتاب کنیم، انتظار داریم در حدود یک‌ششم موارد، عدد 4 بیاید. این یک پیش‌بینی نظری است.
نتایج آزمایش و فرکانس نسبی
حالا بیایید یک آزمایش واقعی انجام دهیم. یک تاس بردارید و آن را 30 بار پرتاب کنید. بعد از هر پرتاب، نتیجه را یادداشت کنید. پس از اتمام آزمایش، می‌توانید فرکانس نسبی آمدن عدد 4 را محاسبه کنید:
فرکانس نسبی، یک اندازه‌گیری عملی و مبتنی بر داده‌های واقعی است. نتایج یک آزمایش فرضی را در جدول زیر مشاهده می‌کنید:
| تعداد پرتاب‌ها | تعداد دفعات آمدن عدد 4 | فرکانس نسبی | مقایسه با احتمال نظری (1/6 ≈ 0.167) |
|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 0.1 | کمتر از انتظار |
| 30 | 6 | 0.2 | نزدیک به انتظار |
| 100 | 18 | 0.18 | خیلی نزدیک به انتظار |
همان‌طور که در جدول می‌بینید، با افزایش تعداد پرتاب‌ها، فرکانس نسبی به مقدار احتمال نظری (0.167) نزدیک‌تر شده است. این یک نکته‌ی بسیار مهم است.
یک مثال از زندگی: پیش‌بینی آب و هوا
فرض کنید هواشناسی احتمال بارش باران در فردا را 70% اعلام کرده است. این به چه معناست؟ این یعنی بر اساس داده‌ها و مدل‌های هواشناسی، در 70 روز از هر 100 روز با شرایط جوی مشابه، باران باریده است. این یک پیش‌بینی احتمالی است.
حالا فردا می‌آید. دو حالت ممکن است پیش بیاید: یا باران می‌بارد یا نمی‌بارد. اگر باران ببارد، آیا یعنی پیش‌بینی 100% درست بود؟ خیر. اگر باران نبارد، آیا یعنی پیش‌بینی کاملاً اشتباه بود؟ باز هم خیر. ما برای قضاوت در مورد دقت یک پیش‌بینی احتمالی، باید به نتایج تعداد زیادی از این پیش‌بینی‌ها نگاه کنیم. اگر این هواشناس در طول یک سال برای روزهایی که احتمال 70% باران پیش‌بینی کرده، در واقع در حدود 70% مواقع باران باریده باشد، پیش‌بینی‌های او قابل اعتماد است.
چرا نتایج آزمایش گاهی با احتمال نظری فرق دارد؟
سه دلیل اصلی برای این اختلاف وجود دارد:
- شانس و تصادف: در تعداد کم آزمایش، نقش شانس پررنگ است. ممکن است در 10 پرتاب تاس، عدد 4 فقط یک بار بیاید، اما این به معنای نادرست بودن احتمال نظری نیست.
- خطای ابزار یا انسان: ممکن است تاس ما کاملاً سالم نباشد یا فردی که آزمایش را انجام می‌دهد، به‌درستی نتیجه را ثبت نکند.
- تعداد کم آزمایش‌ها: همان‌طور که در جدول بالا دیدیم، کلید نزدیک شدن نتایج عملی به پیش‌بینی‌های نظری، انجام آزمایش به تعداد بسیار زیاد است. به این قانون، قانون اعداد بزرگ4 می‌گویند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
1احتمال (Probability): شانس رخ دادن یک رویداد که به صورت عددی بین ۰ (غیرممکن) و ۱ (قطعیت) بیان می‌شود.
2آزمایش (Experiment): یک فرآیند که می‌تواند تکرار شود و نتایج آن مشاهده و ثبت گردد.
3فرکانس نسبی (Relative Frequency): نسبت تعداد دفعاتی که یک رویداد خاص رخ می‌دهد به تعداد کل دفعات انجام آزمایش.
4قانون اعداد بزرگ (Law of Large Numbers): یک قضیه بنیادی در نظریه احتمال که بیان می‌کند با افزایش تعداد دفعات یک آزمایش، فرکانس نسبی یک رویداد به احتمال نظری آن رویداد نزدیک می‌شود.
