بازهٔ بسته چیست؟ از کلاس دوم تا کنکور
۱. بازهٔ بسته در یک نگاه: از نقطه تا نماد
فرض کنید روی یک خط راست ایستادهاید. میخواهید بگویید «همهٔ اعداد بین ۲ تا ۵» را در نظر دارم، و خود ۲ و ۵ هم جزو آن هستند. این یعنی یک بازهٔ بسته. در ریاضیات آن را به صورت $[2,5]$ مینویسیم. برخلاف بازهٔ باز که دو سر آن عضو نیستند $(2,5)$، در بازهٔ بسته کرانها حضور دارند. همین تفاوت کوچک در معادلهها و نامعادلهها نتیجه را کاملاً عوض میکند.
۲. بازهٔ بسته روی محور اعداد؛ نمایش تصویری
روی محور اعداد، بازهٔ بسته را با دو نقطهٔ توپر روی کرانها نشان میدهیم. مثلاً بازهٔ $[-1,3]$ یعنی همهٔ اعداد از ۱- تا ۳، و خود ۱- و ۳ هم جزو مجموعه هستند. دانشآموز کلاس دوم با دیدن نقطهٔ توپری میفهمد «این عدد هم هست». برای دانشآموز دبیرستانی، بازهٔ بسته در تعیین دامنهٔ تابع و حل نامعادلات حیاتی میشود.
۳. مقایسهٔ بازهها: بسته، باز، نیمهباز
| نام بازه | نماد ریاضی | کرانها عضو هستند؟ | نمونه روی محور |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a,b]$ | آری (هر دو سر) | ●━━━━● |
| باز | $(a,b)$ | نه (هیچکدام) | ○━━━━○ |
| نیمهباز (چپ‑بسته) | $[a,b)$ | فقط کران چپ | ●━━━━○ |
| نیمهباز (راست‑بسته) | $(a,b]$ | فقط کران راست | ○━━━━● |
۴. کاربرد زنده: بازهٔ بسته در زندگی و درسها
? مثال اول – نمرههای قبولی
معلم گفت: «نمرهٔ قبولی از ۱۰ تا ۲۰ است.» اگر نمرهات دقیقاً ۱۰ بشود، قبولی؟ بله. چون بازه بسته است:
$[10,20]$.
⚙️ مثال دوم – دقت دستگاه
ترازوی دیجیتالی با خطای $\pm 0.5$ کیلوگرم نشان میدهد وزن $x$ واقعی در بازهٔ
$[50-0.5,50+0.5]$
یعنی $[49.5,50.5]$ قرار دارد. اگر سنگ دقیقاً ۵۰ کیلو باشد، دستگاه «۵۰» نشان میدهد.
? مثال سوم – آزمایشگاه محلول باید بین ۳۵ تا ۴۰ درجه سانتیگراد نگه داشته شود، خود این دو دما هم مجاز است. مینویسیم $[35,40]$.
۵. از دبستان تا دبیرستان؛ گسترش مفهوم بازهٔ بسته
پایهٔ دوم‑پنجم: «اعداد روی خط، نقطهٔ سیاه یعنی خود عدد هم هست.» پایهٔ ششم‑هفتم: معرفی نماد $[a,b]$ و تشخیص عضو بودن کرانها. پایهٔ هشتم‑نهم: حل نامعادلات و نوشتن جواب به صورت بازه. مثال: $x \le 5$ میشود $(-\infty,5]$ که یک بازهٔ بسته در سمت راست است. دبیرستان (ریاضی و فیزیک): دامنهٔ توابع رادیکالی، پیوستگی[1] در کرانها و بازههای اطمینان در آمار.
۶. اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
بسیاری فکر میکنند $(2,5]$ یعنی ۲ تا ۵، اما ۲ نیست. درست آن است: $[2,5]$ هر دو سر عضو هستند. پرانتز یعنی «باز» و کران عضو نیست.
بله. مثلاً $[5,5]$ فقط عدد ۵ را شامل میشود. به آن «بازهٔ تباهیده» میگویند. روی محور یک نقطهٔ توپر است.
اگر نامعادله strict () باشد، کرانها جواب نیستند و بازه باز میشود. اگر $\le , \ge$ باشد، کرانها عضو هستند و بازه بسته میشود. حواستان به علامتها باشد!
بازهٔ بسته یعنی همهٔ اعداد میان دو کران بهاضافهٔ خود کرانها. نماد آن $[a,b]$ است و روی محور با نقطهٔ توپر مشخص میشود. از دمای مجاز یک دارو تا نمرهٔ قبولی و دامنهٔ توابع، همه جا حضور دارد. تفاوت آن با بازهٔ باز در همین «عضویت یا عدم عضویت کرانها» خلاصه میشود.
پاورقیها
[1] پیوستگی (Continuity) — خاصیتی در توابع که در آن منحنی بدون قطع شدن رسم میشود. بازهٔ بسته معمولاً شرط لازم برای قضیههای مهم پیوستگی است.
[2] کران (Boundary) — نقاط ابتدا و انتهای یک بازه.
[3] بازهٔ تباهیده (Degenerate interval) — بازهای بهصورت
$[a,a]$
که فقط یک عضو دارد.
