قضیهٔ چهارضلعی محاطی: زاویه‌های مقابل مکمل‌اند.

قضیه‌ی چهارضلعی محاطی: جادوی زاویه‌های روبرو

چهارضلعی محاطی چیست؟ از تعریف تا شناخت

پیش از هر چیز باید بدانیم چهارضلعی محاطی¹ به چه شکلی گفته می‌شود. اگر چهار نقطه روی یک دایره داشته باشیم و آن‌ها را به ترتیب به هم وصل کنیم، شکلی به دست می‌آید که به آن چهارضلعی محاط در دایره یا چهارضلعی محیطی می‌گویند. به بیان ساده‌تر، هر چهار رأس این چهارضلعی باید بر روی محیط یک دایره قرار بگیرند. این دایره، دایره‌ی محیطی³ چهارضلعی نام دارد.

برای درک بهتر، به پنجره‌های گرد قدیمی یا برخی طرح‌های چرخ‌ونورد فکر کنید. اگر چهار نقطه روی لبه‌ی دایره انتخاب و به هم وصل شوند، یک چهارضلعی محاطی ساخته‌اید. همه‌ی مستطیل‌ها و مربع‌ها را می‌توان در یک دایره محاط کرد، اما هر چهارضلعی دلخواهی این خاصیت را ندارد.

بیان قضیه و یک اثبات گام‌به‌گام

قضیه: در هر چهارضلعی محاطی، مجموع اندازه‌ی هر دو زاویه‌ی مقابل هم برابر 180° است. به عبارت ریاضی، اگر $ \angle A $ و $ \angle C $ روبروی هم باشند، و $ \angle B $ و $ \angle D $ نیز روبروی هم باشند، آنگاه داریم:

اثبات با استفاده از زاویه‌ی مرکزی و محیطی:

فرض کنید چهارضلعی $ ABCD $ در دایره‌ای محاط شده است. دو زاویه‌ی مقابل $ \angle A $ و $ \angle C $ را در نظر بگیرید. هر یک از این زاویه‌ها یک زاویه‌ی محیطی⁴ هستند که روی کمان‌های مقابل خود قرار گرفته‌اند.

1. زاویه‌ی $ \angle A $ بر کمان $ \widehat{BCD} $ (کمانی که از B به C و سپس به D می‌رود و شامل A نیست) تکیه دارد.
2. زاویه‌ی $ \angle C $ بر کمان $ \widehat{BAD} $ (کمانی که از B به A و سپس به D می‌رود و شامل C نیست) تکیه دارد.
3. طبق قضیه‌ی زاویه‌ی محیطی، اندازه‌ی هر زاویه‌ی محیطی نصف اندازه‌ی کمان مقابل آن است. بنابراین:
   $ \angle A = \frac{1}{2} \widehat{BCD} $ و $ \angle C = \frac{1}{2} \widehat{BAD} $.
4. دو کمان $ \widehat{BCD} $ و $ \widehat{BAD} $ روی هم محیط کامل دایره، یعنی 360° را می‌پوشانند. یعنی:
   $ \widehat{BCD} + \widehat{BAD} = 360^\circ $.
5. حال اگر دو تساوی مرحله‌ی ۳ را با هم جمع کنیم:
   $ \angle A + \angle C = \frac{1}{2} \widehat{BCD} + \frac{1}{2} \widehat{BAD} = \frac{1}{2} (\widehat{BCD} + \widehat{BAD}) $.
6. با جایگزینی از مرحله‌ی ۴:
   $ \angle A + \angle C = \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ $.

به روشی کاملاً مشابه می‌توان ثابت کرد که $ \angle B + \angle D = 180^\circ $.

کاربرد قضیه: از حل مسئله تا دنیای واقعی

این قضیه فقط یک رابطه‌ی ریاضی زیبا نیست، بلکه ابزاری قدرتمند برای حل مسائل هندسی و حتی درک برخی پدیده‌های اطراف ماست.

مثال ۱ (حل مسئله): در چهارضلعی محاطی $ ABCD $، اندازه‌ی زاویه‌های $ \angle A = 75^\circ $ و $ \angle B = 115^\circ $ است. اندازه‌ی زاویه‌ی $ \angle C $ چقدر است؟
پاسخ: $ \angle A $ و $ \angle C $ مقابل هم هستند. پس $ \angle A + \angle C = 180^\circ $. بنابراین: $ \angle C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

مثال ۲ (طراحی و معماری): در طراحی برخی میزهای گرد یا صفحات چرخان، گاهی نیاز است چهارپایه یا چهاراتصال به طور متقارن روی محیط دایره قرار گیرد. اطمینان از اینکه چهارضلعی تشکیل شده محاطی است، به معنای رعایت رابطه‌ی مکملی بین زاویه‌هاست که خود باعث پایداری و زیبایی طرح می‌شود. مهندسان برای کنترل زاویه‌ها در چنین طرح‌هایی از این اصل استفاده می‌کنند.

مثال ۳ (نورپردازی): فرض کنید چهار چراغ برق در یک سالن گرد به صورت چهارضلعی محاطی نصب شده‌اند. اگر جهت پرتو هر چراغ را به عنوان یک زاویه در نظر بگیریم، این قضیه می‌تواند در محاسبه‌ی زوایای پوشش نور برای جلوگیری از سایه‌های ناخواسته مفید باشد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹چهارضلعی محاطی (Cyclic Quadrilateral): چهارضلعی که تمام رئوس آن بر روی یک دایره قرار داشته باشد.

²مکمل (Supplementary): دو زاویه که مجموع آن‌ها برابر ۱۸۰ درجه شود.

³دایره‌ی محیطی (Circumcircle): دایره‌ای که از تمام رئوس یک چندضلعی می‌گذرد.

⁴زاویه‌ی محیطی (Inscribed Angle): زاویه‌ای که رأس آن روی دایره قرار دارد و ضلع‌های آن وترهای دایره را قطع می‌کنند. اندازه‌ی آن نصف کمان مقابلش است.