جمع و تفریق عبارت‌های گویا: جمع یا تفریق صورت‌ها پس از یکسان‌سازی مخرج

بروزرسانی شده در: 18:27 1404/09/13 مشاهده: 8 دسته بندی: کپسول آموزشی

جمع و تفریق عبارت‌های گویا: مثل پختن یک کیک با دستورپختی دقیق!

یادگیری گام‌به‌گام جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج‌های متفاوت.

خلاصه: در این مقاله به زبان ساده و با مثال‌های ملموس از زندگی روزمره، می‌آموزیم که چگونه عبارت‌های گویا را جمع و تفریق کنیم. کلید موفقیت در این کار، یکسان‌سازی مخرج¹ کسرهاست، دقیقاً شبیه کاری که در جمع کسرهای عددی انجام می‌دهیم. پس از یافتن مخرج مشترک²، صورت‌ها را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم و نتیجه را ساده می‌نماییم. با فهم این مفهوم، حل مسائل پیچیده‌تر جبری برای شما آسان خواهد شد.

عبارت گویا چیست؟ از آشپزخانه تا کلاس ریاضی!

فرض کنید می‌خواهید یک کیک بپزید. دستور پخت می‌گوید: "1/2 پیمانه شکر" و "1/3 پیمانه کره". این‌ها کسرهای معمولی هستند. حالا اگر بخواهیم این نسبت‌ها را به صورت کلی و با استفاده از حروف بنویسیم، مثلاً بگوییم "$\frac{a}{x}$" پیمانه آرد، آن‌گاه یک عبارت گویا³ ساخته‌ایم. به زبان ریاضی، هر کسری که صورت و مخرج آن چندجمله‌ای⁴ باشد (و مخرجش صفر نباشد)، یک عبارت گویا نامیده می‌شود.

فرمول کلی: یک عبارت گویا به شکل $\frac{P(x)}{Q(x)}$ است که در آن $P(x)$ و $Q(x)$ چندجمله‌ای هستند و $Q(x) \neq 0$.

گام‌های طلایی برای جمع و تفریق عبارت‌های گویا

این فرآیند بسیار شبیه جمع و تفریق کسرهای عددی است. مراحل را با یک مثال کاربردی دنبال کنید: فرض کنید در یک پروژهٔ علمی، سرعت رشد دو گیاه متفاوت است. رشد گیاه الف با $\frac{2}{x}$ سانتی‌متر در روز و رشد گیاه ب با $\frac{3}{x+1}$ مدل شده است. می‌خواهیم مجموع سرعت رشد آن‌ها را بیابیم: $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$.

مرحله	توضیح	مثال عملی (جمع)
۱. تعیین مخرج مشترک	مخرج‌ها را فاکتورگیری⁵ می‌کنیم. کوچک‌ترین مضرب مشترک⁶ (ک.م.م) آن‌ها را به عنوان مخرج مشترک انتخاب می‌کنیم.	مخرج‌ها: $x$ و $x+1$. فاکتورهای اول: $x$ و $x+1$. مخرج مشترک: $x(x+1)$.
۲. یکسان‌سازی مخرج‌ها	هر کسر را به گونه‌ای ضرب می‌کنیم که مخرجش برابر با مخرج مشترک شود. (صورت و مخرج در عدد یکسان ضرب می‌شوند)	$\frac{2}{x} = \frac{2 \times (x+1)}{x \times (x+1)} = \frac{2x+2}{x(x+1)}$ $\frac{3}{x+1} = \frac{3 \times x}{(x+1) \times x} = \frac{3x}{x(x+1)}$
۳. جمع یا تفریق صورت‌ها	حال که مخرج‌ها یکسان شد، صورت‌های کسرهای جدید را با هم جمع (یا از هم تفریق) می‌کنیم. مخرج مشترک بدون تغییر می‌ماند.	$\frac{2x+2}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)} = \frac{(2x+2) + (3x)}{x(x+1)}$ نتیجه: $\frac{5x+2}{x(x+1)}$
۴. ساده‌سازی نتیجه	اگر امکان فاکتورگیری در صورت و مخرج وجود داشت و عامل مشترکی داشتند، آن‌ها را ساده می‌کنیم. در غیر این صورت، پاسخ نهایی همان است.	در این مثال، صورت ($5x+2$) و مخرج ($x(x+1)$) عامل مشترکی ندارند. پس پاسخ نهایی: $\frac{5x+2}{x(x+1)}$

کاربرد در محاسبه‌ی سرعت و زمان: یک مسئله‌ی واقعی

علی با دوچرخه از خانه به کتابخانه می‌رود. فاصله را $d$ کیلومتر در نظر بگیرید. اگر سرعت رفت $v$ کیلومتر بر ساعت باشد، زمان رفت $\frac{d}{v}$ ساعت است. در راه برگشت، به دلیل باد مخالف، سرعت او $v-2$ کیلومتر بر ساعت می‌شود، پس زمان برگشت $\frac{d}{v-2}$ ساعت است. کل زمان سفر برابر است با مجموع این دو عبارت گویا:

$ \text{کل زمان} = \frac{d}{v} + \frac{d}{v-2} $

با یافتن مخرج مشترک که $v(v-2)$ است و انجام مراحل بالا، می‌توانیم فرمول ساده‌تری برای کل زمان به دست آوریم و برای سرعت‌های مختلف محاسبه کنیم.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال ۱: آیا می‌توانم مستقیماً صورت‌ها را با هم و مخرج‌ها را با هم جمع کنم؟ مثل $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$؟

پاسخ: هرگز! این بزرگ‌ترین اشتباه رایج است. برای درک بهتر، با اعداد جایگزین کنید: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ اگر این روش را به کار ببریم، می‌شود $\frac{2}{4}$ که با $1$ برابر نیست. حتماً باید ابتدا مخرج‌ها را یکسان کنید.

سوال ۲: وقتی مخرج‌ها یکسان هستند، چه کاری باید انجام دهم؟

پاسخ: در این حالت، کار بسیار ساده است. کافی است صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید و مخرج مشترک را بدون تغییر بنویسید. مثال: $\frac{3}{x+1} + \frac{5}{x+1} = \frac{8}{x+1}$.

سوال ۳: چگونه می‌توانم از صحت جوابم مطمئن شوم؟

پاسخ: می‌توانید یک عدد ساده (که مخرج را صفر نمی‌کند) به جای متغیر در عبارت اولیه و در جواب نهایی خود قرار دهید. اگر حاصل هر دو یکسان بود، به احتمال زیاد مراحل را درست انجام داده‌اید. همچنین، همیشه دقت کنید که در پایان، عبارت را تا حد امکان ساده کرده باشید.

جمع‌بندی: جمع و تفریق عبارت‌های گویا، یک مهارت بنیادی در جبر است که با درک صحیح از مخرج مشترک به راحتی قابل تسلط است. مانند هر دستور العمل دیگر (مثل پخت کیک)، پیروی از ترتیب مراحل (تعیین مخرج مشترک، یکسان‌سازی، عمل بر روی صورت‌ها، ساده‌سازی) کلید رسیدن به پاسخ صحیح است. با تمرین بر روی مثال‌های مختلف، این فرآیند برای شما به یک عادت ذهنی تبدیل خواهد شد.

پاورقی

¹یکسان‌سازی مخرج (Common Denominator Making): فرآیند تبدیل کسرهای با مخرج متفاوت به کسرهای معادل با مخرج یکسان.
²مخرج مشترک (Common Denominator): عدد یا عبارتی که مخرج همهٔ کسرها می‌تواند به آن تقسیم یا در آن ضرب شود.
³عبارت گویا (Rational Expression): کسری که صورت و مخرج آن چندجمله‌ای باشد.
⁴چندجمله‌ای (Polynomial): عبارت جبری شامل چند جمله که در هر جمله، متغیرها با ضرایب عددی و توان‌های صحیح غیرمنفی ظاهر می‌شوند.
⁵فاکتورگیری (Factoring): تجزیهٔ یک عبارت به حاصل ضرب عوامل ساده‌تر.
⁶کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) (Least Common Multiple - LCM): کوچک‌ترین عبارتی که بر هر یک از مخرج‌ها بخش‌پذیر باشد.

عبارت گویا مخرج مشترک جمع کسرهای جبری یکسان سازی مخرج ساده سازی عبارت

پایهٔ نهم ریاضی نهم جمع و تفریق عبارت‌های گویا

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!