مرتبسازی چندجملهای: چیدمان صحیح عبارتهای جبری
چندجملهای چیست و اجزای آن کدامند؟
یک چندجملهای مانند یک دستهاز میوههای مختلف است. فرض کنید یک سبد داریم که در آن 3 عدد سیب، 5 عدد موز و 2 عدد پرتقال وجود دارد. هر نوع میوه یک «جمله» است. در ریاضی، هر جمله معمولاً از حاصلضرب یک عدد (به نام ضریب3) و یک قسمت متغیر (مثل $x$ به توان یک عدد) تشکیل میشود.
| جمله (مثال) | ضریب | متغیر | توان | توضیح |
|---|---|---|---|---|
| $5x^3$ | 5 | x | 3 | عدد 5 در x به توان 3 ضرب شده. |
| $-2x$ | -2 | x | 1 | وقتی توان نوشته نمیشود، یعنی 1 است. |
| $7$ | 7 | ندارد | 0 | به این جمله ثابت4 میگویند. (مثل x0=1) |
قاعده طلایی: مرتبسازی نزولی بر اساس توان
حالا که با اجزا آشنا شدیم، وقت آن است که چندجملهایمان را مرتب کنیم. قاعده اصلی این است: جملهای که توان متغیر در آن بزرگتر است، اول نوشته میشود و به ترتیب، جملات با توانهای کوچکتر بعد از آن میآیند. به این ترتیب، عبارت ما همیشه شکل منظم و استانداردی خواهد داشت.
مثال اول از زندگی: فرض کنید میخواهیم مساحت یک باغچه را مدل کنیم. باغچه از سه قسمت تشکیل شده: یک قسمت مربع با ضلع $x$ متر (مساحت = $x^2$)، یک قسمت مستطیل به طول $5x$ متر و یک قسمت ثابت به مساحت 12 مترمربع برای حوض. اگر اینها را کنار هم بگذاریم، عبارت اولیه میشود: $12 + 5x + x^2$.
این عبارت نامرتب است! برای مرتبسازی، توانهای x را پیدا میکنیم: در $x^2$ توان 2، در $5x$ توان 1 و در 12 توان 0. پس مرتبشده آن اینگونه است:
$ x^2 + 5x + 12 $
چگونه در چهار گام ساده مرتب کنیم؟
برای اینکه هیچ وقت در مرتبسازی دچار اشتباه نشوید، این چهار گام را دنبال کنید:
| گام | اقدام | مثال برای $4x + 9 - 2x^3 + x^2$ |
|---|---|---|
| ۱ | همه جملات را شناسایی کن (با علامت + یا - جدا میشوند). | جملهها: $+4x$ , $+9$ , $-2x^3$ , $+x^2$ |
| ۲ | توان هر جمله را پیدا کن. | توانها: 1, 0, 3, 2 |
| ۳ | جملات را از بزرگترین توان به کوچکترین توان مرتب کن. | توان 3 اول، بعد 2، بعد 1، بعد 0. ترتیب: $-2x^3$, $+x^2$, $+4x$, $+9$ |
| ۴ | جملات مرتب شده را پشت سر هم بنویس. | $ -2x^3 + x^2 + 4x + 9 $ |
مثال عملی: از مدلسازی تا مرتبسازی
تصور کنید برای یک جشن تولد، هزینهها را محاسبه میکنیم. هزینهی تزیینات بر اساس تعداد مهمان ($x$)، برابر $3x^2$ تومان است (چون هر میز به طور مربعی تزیین میشود!). هزینهی غذا برای هر مهمان $15000x$ تومان و هزینهی ثابت کیک و شمع 50000 تومان است. عبارت کل هزینه به صورت نامرتب این است:
$ 50000 + 15000x + 3x^2 $
حالا با قانون مرتبسازی نزولی، آن را مینویسیم:
$ 3x^2 + 15000x + 50000 $
میبینید که چقدر مرتبتر و حرفهایتر به نظر میرسد! حالا اگر کسی بخواهد این عبارت را بخواند، بلافاصله متوجه میشود که مهمترین جزء هزینه (جزئی که با تعداد مهمان به توان 2 رابطه دارد) در ابتدا قرار گرفته است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
ابتدا باید متغیر اصلی را انتخاب کنیم. معمولاً از روی صورت سوال یا قرارداد مشخص میشود (مثلاً $x$). سپس فقط بر اساس توان همین متغیر مرتب میکنیم. برای مثال در $2y + 5x^2y - x^3$، اگر متغیر اصلی $x$ باشد، مرتبشده آن $-x^3 + 5x^2y + 2y$ میشود. دقت کنید که توان $y$ در مرتبسازی نقش ندارد.
خیر، فقط توان مهم است. در مثال $2x+3x^2$، دو جمله داریم: یکی با توان 1 و دیگری با توان 2. جمله با توان بزرگتر (2) اول میآید، صرفنظر از این که ضریب آن 3 است یا 100. پس پاسخ صحیح $3x^2 + 2x$ است. مرتب کردن بر اساس بزرگی ضریب، یک اشتباه رایج است.
علامت (+ یا -) جزئی از خود جمله است و مثل یک یونیفرم به آن چسبیده. هنگام مرتبسازی، کل جمله را با علامتش جابجا میکنیم. در مثال گامبهگام، جمله $-2x^3$ با همان علامت منفی به ابتدای عبارت منتقل شد.
پاورقی
1 مرتبسازی چندجملهای (Polynomial Ordering/Arrangement): چیدمان جملات یک عبارت جبری چندجملهای بر اساس یک قاعده مشخص، معمولاً نزولی بودن توان.
2 توان (Exponent/Power): عدد کوچکی که در بالا و سمت راست متغیر نوشته میشود و نشاندهندهی تعداد دفعات ضرب متغیر در خودش است.
3 ضریب (Coefficient): عدد ثابتی که در یک جملهی جبری، متغیر(ها) در آن ضرب میشوند.
4 جمله ثابت (Constant Term): جملهای در چندجملهای که هیچ متغیری در آن وجود ندارد (یا به عبارتی متغیر به توان صفر رسیده).
