دامنهٔ تعریف عبارتهای گویا: کجا تعریف میشوند؟
عبارت گویا چیست و چه زمانی دردسرساز میشود؟
یک عبارت گویا در سادهترین شکل، یک کسر است که صورت و مخرج آن چندجملهای3 هستند. مانند: $ \frac{x+5}{x-2} $ یا $ \frac{3}{y^2 - 1} $. ما از دوران ابتدایی با یک قانون طلایی در کسرها آشنا شدهایم: مخرج یک کسر هیچگاه نمیتواند صفر باشد. دلیلش چیست؟ فرض کنید در دستور پخت یک کیک، برای هر نفر به 2 عدد تخممرغ نیاز است. حالا اگر تعداد نفرات 0 باشد، تقسیم تخممرغها بر صفر بیمعنا است! در ریاضی نیز تقسیم بر صفر تعریف نشده است.
پس قلب پیدا کردن دامنه تعریف، جلوگیری از صفر شدن مخرج است. به بیان ساده:
گام دوم: معادلهی به دست آمده را حل کن و مقدار (یا مقادیر) متغیر را پیدا کن.
گام سوم: این مقدار (ها) را از مجموعهی اعداد مجاز (معمولاً اعداد حقیقی4) حذف کن. باقیماندهی اعداد، دامنهی تعریف عبارت هستند.
یافتن دامنه تعریف: از ساده تا چند مرحلهای
بیایید این مراحل را با چند مثال از آسان به پیچیدهتر تمرین کنیم. فرض کنید متغیر ما $ x $ است.
| عبارت گویا | مراحل حل (پیدا کردن مقادیر ممنوعه) | دامنه تعریف (به زبان ریاضی و توصیفی) |
|---|---|---|
| $ \frac{7}{x-4} $ | $ x - 4 = 0 $ → $ x = 4 $ |
همهی اعداد حقیقی به جز 4. $ x \neq 4 $ |
| $ \frac{x+1}{x^2 - 9} $ |
$ x^2 - 9 = 0 $ → $ (x-3)(x+3)=0 $ → $ x = 3 $ یا $ x = -3 $ |
همهی اعداد حقیقی به جز 3 و -3. $ x \neq 3, x \neq -3 $ |
| $ \frac{5}{x^2 + 1} $ |
$ x^2 + 1 = 0 $ → $ x^2 = -1 $ (این معادله در اعداد حقیقی جواب ندارد، زیرا مجذور هیچ عدد حقیقی منفی نمیشود) |
همهی اعداد حقیقی. هیچ عددی مخرج را صفر نمیکند. |
کاربرد در دنیای واقعی: سرعت و قیمت متوسط
شاید بپرسید این موضوع چه ربطی به زندگی ما دارد؟ فرض کنید میخواهید با خانواده از تهران به اصفهان سفر کنید. مسافت تقریبی 450 کیلومتر است. سرعت متوسط از تقسیم مسافت کل بر زمان کل به دست میآید: $ \frac{450}{t} $ کیلومتر بر ساعت.
در این فرمول، $ t $ زمان سفر است. آیا میتوان $ t = 0 $ قرار داد؟ خیر! اگر زمان سفر صفر باشد، یعنی شما در یک لحظه در تهران و اصفهان هستید که غیرممکن است. پس دامنه تعریف این فرمول، $ t > 0 $ است.
مثال دیگر: قیمت سرانه. اگر هزینهی یک مهمانی 300000 تومان باشد و بخواهید آن را بین $ n $ نفر تقسیم کنید، سهم هر نفر میشود: $ \frac{300000}{n} $. آیا میتوان تعداد نفرات را صفر گرفت؟ قطعاً نه. پس $ n $ باید یک عدد طبیعی (مثبت) باشد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر، فقط صفر شدن مخرج مشکلساز است. صفر شدن صورت اشکالی ندارد و فقط مقدار کل کسر را صفر میکند. برای مثال در عبارت $ \frac{x}{x-2} $، اگر $ x = 0 $ قرار دهیم، کسر برابر 0 میشود که کاملاً تعریف شده است. تنها عدد ممنوعه در این مثال 2 است.
پاسخ: اعداد حقیقی شامل همهی اعداد معمولی هستند که با آنها سر و کار داریم: اعداد طبیعی (مثل 1،2،3)، اعداد صحیح (مثل ...-2,-1,0,1,2)، اعداد کسری (مثل 0.5 یا $ \frac{2}{3} $) و حتی عددهای رادیکالی (مثل $ \sqrt{2} $). در سطح پایه نهم، معمولاً منظور از "همهی اعداد" همین مجموعه است.
پاسخ: دو اشتباه شایع وجود دارد:
۱. فراموش کردن فاکتورگیری: در مخرجهایی مانند $ x^2 - 4x $، برخی فقط $ x=0 $ را در نظر میگیرند. در حالی که باید آن را فاکتور گرفت: $ x(x-4)=0 $ که دو جواب 0 و 4 میدهد.
۲. سادهکردن بیاحتیاط: در عبارت $ \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} $، ممکن است بگوییم با سادهکردن به $ x+2 $ میرسیم که دامنهاش همهی اعداد است. اما این اشتباه است! در عبارت اولیه، $ x=1 $ مخرج را صفر میکند و مجاز نیست. پس دامنه تعریف همهی اعداد به جز ۱ است، حتی پس از سادهکردن.
پاورقی
1 عبارت کسری-گویا (Rational Expression): به کسری گفته میشود که صورت و مخرج آن چندجملهای باشند.
2 دامنه تعریف (Domain): مجموعه همهی مقادیر مجاز برای متغیر که عبارت را تعریفشده میکند.
3 چندجملهای (Polynomial): مجموعی از جملهها که هر جمله شامل ضریب و متغیر به توان یک عدد صحیح نامنفی است. مانند $ x^2 + 3x - 5 $.
4 اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه تمام اعداد روی محور اعداد، شامل اعداد گویا و گنگ.
