دامنهٔ بزرگترین مجموعهٔ ممکن: قلمرویی که تابع در آن معنا مییابد
مفهوم دامنه: قلمرو ورودیهای یک تابع
تابع را مانند یک ماشین در نظر بگیرید. به این ماشین یک عدد ورودی میدهید، و آن ماشین بر اساس قاعدهای مشخص، یک عدد خروجی تولید میکند. مجموعهٔ تمام اعداد ورودی که این ماشین بتواند با آنها کار کند و خروجی معنیداری بدهد، «دامنه» (Domain) نامیده میشود. اگر به ماشین عددی بدهیم که خارج از قلمرو مجازش باشد، یا خطا رخ میدهد، یا خروجی آن در مجموعهٔ اعداد حقیقی (Real Numbers) بیمعنا خواهد بود.
برای مثال، تابع $f(x) = \sqrt{x}$ را در نظر بگیرید. این ماشین، جذر (ریشهٔ دوم) عدد ورودی را محاسبه میکند. در مجموعهٔ اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی تعریفنشده است. بنابراین، دامنهٔ این تابع فقط اعداد بزرگتر یا مساوی صفر است. این همان «بزرگترین مجموعهٔ ممکن» است که تابع روی آن معنی دارد.
دامنهٔ توابع چندجملهای و گویا
توابع چندجملهای (Polynomial Functions) سادهترین نوع توابع هستند. شکل کلی آنها مانند $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ است. از آنجا که این توابع فقط شامل جمع، تفریق و ضرب اعداد هستند، برای هر عدد حقیقی ورودی قابل محاسبهاند. بنابراین، دامنهٔ توابع چندجملهای همواره مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی است. یعنی $\mathbb{R}$ یا $(-\infty, +\infty)$.
اما توابع گویا (Rational Functions) که به صورت کسر دو چندجملهای نوشته میشوند، مانند $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$، قوانین متفاوتی دارند. قانون طلایی در اینجا این است: مخرج کسر هرگز نباید صفر شود. زیرا تقسیم بر صفر در ریاضیات تعریفنشده است. برای یافتن دامنه، باید مقادیری از $x$ را که مخرج را صفر میکنند، از مجموعهٔ اعداد حقیقی حذف کنیم.
مثال: دامنهٔ تابع $f(x) = \frac{x+2}{x^2 - 4}$ را بیابید.
مرحله ۱: مخرج کسر را برابر صفر قرار داده و معادله را حل میکنیم: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0$.
مرحله ۲: ریشههای معادله $x = 2$ و $x = -2$ هستند.
مرحله ۳: این دو نقطه را از دامنه حذف میکنیم. بنابراین دامنه عبارت است از: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.
دامنهٔ توابع رادیکالی (با فرجهٔ زوج)
توابع رادیکالی[۱] که شامل ریشهٔ دوم، چهارم و به طور کلی ریشهٔ زوج هستند، یک محدودیت اساسی در دامنهٔ خود دارند. در مجموعهٔ اعداد حقیقی، عبارت زیر رادیکال با فرجهٔ زوج باید حتماً بزرگتر یا مساوی صفر باشد. زیرا هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که با توان زوج به یک عدد منفی تبدیل شود. برای توابع رادیکالی با فرجهٔ فرد (مثل ریشهٔ سوم)، دامنه تمام اعداد حقیقی است، زیرا میتوانیم از اعداد منفی نیز ریشهٔ فرد بگیریم.
مثال: دامنهٔ تابع $f(x) = \sqrt{5 - x}$ را مشخص کنید.
مرحله ۱: عبارت داخل رادیکال را بزرگتر یا مساوی صفر قرار میدهیم: $5 - x \ge 0$.
مرحله ۲: نامعادله را حل میکنیم: $-x \ge -5 \Rightarrow x \le 5$.
مرحله ۳: دامنه برابر است با $(-\infty, 5]$.
دامنهٔ توابع لگاریتمی
توابع لگاریتمی[۲] مانند $f(x) = \log_a (g(x))$ نیز محدودیتهای خاص خود را دارند. لگاریتم یک عدد، در پایههای مثبت مخالف یک، فقط برای اعداد مثبت تعریف میشود. به عبارت دیگر، عبارت داخل لگاریتم باید اکیداً بزرگتر از صفر باشد ($g(x) \gt 0$). اگر لگاریتم در مبنای ۱۰ نوشته شود ($\log$) یا مبنای طبیعی ($\ln$) باشد، همین قانون برقرار است.
مثال: دامنهٔ تابع $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ را پیدا کنید.
مرحله ۱: عبارت داخل لگاریتم را بزرگتر از صفر قرار میدهیم: $x^2 - 1 \gt 0$.
مرحله ۲: نامعادله را حل میکنیم. $(x-1)(x+1) \gt 0$. با استفاده از خط اعداد، جوابها بازههای $(-\infty, -1)$ و $(1, +\infty)$ هستند.
مرحله ۳: دامنه برابر است با $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
| نوع تابع | شرط دامنه (برای توابع حقیقی) | مثال نقض (خارج از دامنه) |
|---|---|---|
| چندجملهای | همه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) | — |
| گویا (کسری) | مخرج $\neq 0$ | $x=2$ در $f(x)=\frac{1}{x-2}$ |
| رادیکالی (فرجه زوج) | زیر رادیکال $\ge 0$ | $x=-1$ در $f(x)=\sqrt{x}$ |
| لگاریتمی | عبارت داخل لگاریتم $\gt 0$ | $x=0$ در $f(x)=\log(x)$ |
| مثلثاتی (تانژانت) | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $x = \frac{\pi}{2}$ |
کاربرد عملی: ترکیب توابع و دامنه
در مسائل پیشرفتهتر، ممکن است با ترکیب توابع روبرو شویم. برای مثال، تابع $h(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$ ترکیبی از یک تابع گویا و یک رادیکال است. برای یافتن دامنه، باید همهٔ محدودیتها را همزمان در نظر بگیریم.
مثال عملی: دامنهٔ تابع $h(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$ را بیابید.
مرحله ۱: محدودیت رادیکال (فرجه زوج): عبارت زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. یعنی $\frac{x+1}{x-3} \ge 0$.
مرحله ۲: محدودیت کسر: مخرج کسر نباید صفر شود. یعنی $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
مرحله ۳: حل نامعادلهٔ $\frac{x+1}{x-3} \ge 0$. نقاط بحرانی $x = -1$ و $x = 3$ هستند. با استفاده از خط اعداد و بررسی علامت، جواب نامعادله بازههای $(-\infty, -1] \cup (3, +\infty)$ بهدست میآید. توجه کنید که در $x = -1$، صورت صفر است و کسر برابر صفر میشود که برای رادیکال با فرجهٔ زوج مجاز است. نقطهٔ $x=3$ به دلیل محدودیت کسر از دامنه حذف میشود.
مرحله ۴: دامنهٔ نهایی، اشتراک همهٔ شرایط است: $(-\infty, -1] \cup (3, +\infty)$.
چالشهای مفهومی
❓ چرا دامنهٔ توابع مثل $f(x) = \frac{1}{x}$ شامل صفر نمیشود، اما دامنهٔ $g(x) = \frac{x}{x}$ نیز شامل صفر نمیشود، در حالی که ظاهراً $g(x)=1$ است؟
اگرچه بعد از سادهسازی، $g(x)$ برابر ۱ به نظر میرسد، اما تابع اصلی هنوز یک عبارت کسری است که در $x=0$ مخرجش صفر میشود. دامنهٔ یک تابع بر اساس شکل اولیه و قواعد تعریف آن تعیین میشود، نه پس از سادهسازی جبری. بنابراین $x=0$ در دامنهٔ $g$ قرار ندارد.
❓ آیا دامنهٔ یک تابع همیشه یک بازه یا اجتماع چند بازه است؟ مثال نقض بزنید.
خیر. دامنه میتواند مجموعهای از نقاط مجزا باشد. برای مثال، تابع $f(x) = \sqrt{-\left(x^2+1\right)}$ را در نظر بگیرید. عبارت زیر رادیکال همواره منفی است، پس هیچ عدد حقیقیای در دامنه آن نیست (دامنه تهی است). یا تابعی که فقط برای اعداد صحیح تعریف شده باشد، مانند دنبالهها.
❓ چگونه دامنهٔ تابع $f(x) = \sqrt{x^2}$ با دامنهٔ $g(x) = (\sqrt{x})^2$ متفاوت است؟
دامنهٔ $f$ همهٔ اعداد حقیقی است، زیرا $x^2$ همیشه نامنفی است. اما دامنهٔ $g$ فقط اعداد نامنفی ($x \ge 0$) است، چون ابتدا باید جذر $x$ را در مجموعهٔ اعداد حقیقی محاسبه کنیم. این دو تابع علیرغم اینکه برای $x \ge 0$ یکسان هستند، دامنههای متفاوتی دارند.
پاورقی
۱تابع رادیکالی (Radical Function): تابعی که در آن متغیر مستقل در زیر رادیکال (ریشه) قرار میگیرد، مانند $f(x)=\sqrt[n]{x}$.
۲تابع لگاریتمی (Logarithmic Function): تابعی به صورت $f(x)=\log_a x$ که معکوس تابع نمایی $a^x$ است. لگاریتم عدد $x$ در پایهٔ $a$، توانی است که باید به $a$ بدهیم تا به $x$ برسیم.
