جمله nام (tₙ) : از الگو تا پیشبینی
نماد tₙ و الفبای دنبالهها
فرض کن روی پلههای یک ساختمان ایستادهای. پلهٔ اول (n=1)، پلهٔ دوم (n=2) و همین طور تا هر پلهای که بخواهی. ریاضیدانها به جای «پله»، میگویند «جمله» و به جای شمارهٔ پله، میگویند «اندیس» یا «جایگاه». نماد $t_n$ یعنی جملهای که در خانهٔ nام نشسته است.
حرف t معمولاً از کلمهٔ «term»[1] گرفته شده و اندیس n جایگاه را نشان میدهد. اگر یک دوست خارجی داشتی که فارسی بلد نبود، پاورقی را به او نشان میدادی! ولی خود ما همه چیز را به فارسی شیرین میگوییم.
<!-- تراشه (چیپ) برای برجستهسازی --> ? جملهٔ nام = قانون کلی دنباله <!-- ================ بخش ۲ : دنبالههای ساده (سطح ابتدایی) ================ -->از چوبخط تا فرمول: دنبالههای حسابی
زهرا هر روز ۳ صفحه از داستان مورد علاقهاش را میخواند. روز اول ۳ صفحه، روز دوم ۶ صفحه، روز سوم ۹ صفحه و ... . این دنبالهی اعداد ۳,۶,۹,۱۲,... است. جملهٔ nام یعنی $t_n$ در اینجا چیست؟
یعنی فقط کافی است جایگاه را در مقدار ثابت روزانه ضرب کنی.
این سادهترین نوع دنباله است: «دنبالهٔ حسابی»[2]. در این دنباله هر جمله از جمع مقدار ثابتی (به نام قدرنسبت) با جملهٔ قبلی به دست میآید. فرمول کلی برای دنبالهای که جملهٔ اول آن $t_1$ و مقدار افزایش d است: $t_n = t_1 + (n-1)d$
<!-- جدول زیبا برای دنباله حسابی -->| جایگاه (n) | فرآیند محاسبه | جمله (tₙ) | برچسب |
|---|---|---|---|
| 1 | 3×1 | 3 | ✅ شروع |
| 2 | 3×2 | 6 | ⚡ دوم |
| 3 | 3×3 | 9 | ⚡ سوم |
| ... | ... | ... | ? ادامه |
دنبالههای مربعی و مثلثی: وقتی n به توان میرسد
در کلاس هفتم با اعداد مربعی آشنا شدی: $1,4,9,16,25,...$. اینجا دیگر افزایش ثابت نیست. برای یافتن جملهٔ صدم نیازی نیست تا ۱۰۰ بشماری؛ کافی است فرمول $t_n=n^2$ را بدانی.
یا اعداد مثلثی: چیدن مهرهها به شکل مثلث. جملهٔ اول ۱، دوم ۳، سوم ۶، چهارم ۱۰ و ... . فرمول معروف آن: $t_n=\frac{n(n+1)}{2}$
| نام دنباله | چند جملهٔ اول | فرمول tₙ | جملهٔ ۲۰ام |
|---|---|---|---|
| حسابی (با قدرنسبت ۵) | 5,10,15,20,… | $t_n=5n$ | 100 |
| مربعی | 1,4,9,16,… | $t_n=n^2$ | 400 |
| مثلثی | 1,3,6,10,… | $t_n=\frac{n(n+1)}{2}$ | 210 |
| توانهای دو | 2,4,8,16,… | $t_n=2^n$ | 1,048,576 |
کاربرد واقعی: خانهداری با جملهٔ nام!
پدر امین هر هفته ۲۰۰۰ تومان به قلک او اضافه میکند. هفتهٔ اول ۲۰۰۰ تومان، هفتهٔ دوم ۴۰۰۰ تومان و ... . امین میخواهد بداند پس از یک سال (هفتهٔ ۵۲ام) چقدر پسانداز دارد؟ به جای جمعزنی طولانی، از فرمول دنبالهٔ حسابی استفاده میکند: $t_{52}=2000 \times 52 = 104000$ تومان.
همین فکر را در طراحی پلکان یک سالن آمفیتئاتر به کار میبرند: ردیف اول ۱۰ صندلی، ردیف دوم ۱۲ صندلی، ردیف سوم ۱۴ صندلی و ... . معماران برای محاسبهٔ تعداد صندلیهای ردیف nام به سراغ $t_n=10+2(n-1)$ میروند.
<!-- ================ بخش ۵ : اشتباهات رایج و پرسشهای مهم ================ -->اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
<!-- سوال ۱ -->❓ اشتباه: آیا همیشه tₙ همان n ضربدر جملهٔ اول است؟
خیر! این اشتباه خیلی از دانشآموزان است. فرمول $t_n=n \times t_1$ فقط مخصوص دنبالههایی است که از صفر شروع شده و افزایش ثابت داشته باشند (مثل ۵,۱۰,۱۵). اگر جملهٔ اول ۲ و افزایش ۳ باشد، داریم: $t_n=2+3(n-1)$ که با n×۲ فرق میکند.
❓ سؤال: چرا گاهی tₙ را با aₙ نشان میدهند؟
سلیقهای است! در بسیاری از کتابها از $a_n$ استفاده میشود که ابتدای کلمهٔ «arithmetic» نیست، بلکه فقط یک قرارداد است. در این مقاله از $t_n$ به معنی term استفاده کردیم. هر دو درست است.
❓ اشتباه: اندیس را از صفر شروع میکنم!
در ریاضیات مدرسه، معمولاً n=1 اولین جمله است. بعضی دنبالهها در برنامهنویسی از n=0 شروع میشوند. اما در اینجا طبق قرارداد، t₁ جملهٔ اول است. اگر اندیس را اشتباه بزنی، فرمول tₙ جواب نادرست میدهد.
جملهٔ nام یعنی فرمولی که بر اساس جایگاه (n) مقدار آن خانه را میدهد. این مفهوم از پایهایترین ابزارهای ریاضی برای الگویابی است. با دانستن $t_n$ میتوان هر جمله را بدون نیاز به جملههای قبلی محاسبه کرد. در دنبالههای حسابی از رابطهٔ خطی، در مربعی از توان دو و در مثلثی از کسر استفاده میکنیم. همیشه مطمئن شو جملهٔ اول با کدام اندیس شروع شده است.
پاورقی
[1] اصطلاح «term» به معنای «جمله» در دنباله است.
[2] «Arithmetic sequence»: دنبالهای که اختلاف هر دو جملهٔ متوالی آن مقدار ثابتی است.
[3] «Index» : اندیس یا جایگاه، همان n در $t_n$.
