نسبت ضلعهای متناظر در مثلثهای متشابه
در این مقاله به بررسی یکی از پایهایترین مفاهیم هندسه، یعنی نسبت ضلعهای متناظر در مثلثهای متشابه میپردازیم. خواهید دید که چگونه این نسبت (که به آن نسبت تشابه نیز گفته میشود) یک مقدار ثابت است و چطور میتوان از آن برای محاسبه طول اضلاع مجهول، یافتن فاصلههای غیرقابلدسترس (مثل ارتفاع یک ساختمان) و حل مسائل پیچیدهتر استفاده کرد. با مثالهای گامبهگام و جداول مقایسهای، کاربرد این قانون را در سطوح مختلف درک خواهید کرد.
تشابه مثلثها: تعریف و شرط اصلی
دو مثلث را متشابه گویند اگر سه زاویهٔ متناظر آنها با هم برابر باشند. در این حالت، شکل دو مثلث دقیقاً شبیه هم است، اما ممکن است اندازهشان متفاوت باشد. مهمترین نتیجة این شباهت، تناسب اضلاع است: اگر مثلث ABC و DEF متشابه باشند (که با نماد $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ نشان داده میشود)، آنگاه:
که در آن $k$ همان نسبت تشابه است. این نسبت برای هر جفت ضلع متناظر1 یکسان است.
برای اثبات این موضوع، کافی است یکی از مثلثها را روی دیگری منطبق کنیم تا تساوی زاویهها را ببینیم؛ سپس با استفاده از قضیهی تالس یا نسبتهای مثلثاتی، به تساوی نسبت اضلاع میرسیم.
اگر دو مثلث متشابه باشند، نهتنها نسبت اضلاع متناظر، بلکه نسبت ارتفاعها، میانهها، نیمسازها و محیطهای متناظر نیز با هم برابر و همان $k$ است. نسبت مساحتها اما برابر با $k^2$ خواهد بود.
روش تشخیص ضلعهای متناظر
برای استفاده از قانون تناسب، ابتدا باید بدانیم کدام ضلعها متناظر یکدیگرند. سادهترین راه، توجه به زاویههاست: ضلعهایی که بین دو زاویۀ مساوی قرار گرفتهاند، متناظرند. همچنین اگر نامگذاری مثلثها به ترتیب زاویههای مساوی باشد (مثلاً $\triangle ABC \sim \triangle DEF$)، آنگاه ضلع $AB$ با $DE$، $BC$ با $EF$ و $CA$ با $FD$ متناظر هستند.
در جدول زیر سه حالت اصلی تشابه مثلثها و نحوۀ تشخیص اضلاع متناظر را میبینید:
| حالت تشابه (مخفف) | شرایط | نحوه تشخیص اضلاع متناظر |
|---|---|---|
| ززز (AAA)2 | سه زاویه متناظر برابر باشند (فقط دو تا کافی است، چون سومی برابر میشود). | اضلاعی که روبروی زاویههای مساوی قرار دارند، متناظرند. |
| ض ز ض (SAS)3 | نسبت دو ضلع در یک مثلث با نسبت دو ضلع در مثلث دیگر برابر باشد و زاویهی بین آنها نیز مساوی باشد. | اضلاعی که زاویهی مساوی را میسازند متناظرند. ضلع سوم هر مثلث نیز با دیگری متناظر است. |
| ض ض ض (SSS)4 | نسبت هر سه ضلع یک مثلث با اضلاع متناظر مثلث دیگر برابر باشد. | ترتیب ضلعها در نسبتهای مساوی، متناظر بودن آنها را مشخص میکند. |
کاربرد عملی: محاسبه ارتفاع با استفاده از سایه
یکی از معروفترین کاربردهای نسبت اضلاع متناظر، اندازهگیری ارتفاع اجسام بلند با کمک سایهشان است. فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک دکل مخابراتی را پیدا کنیم. یک میله به ارتفاع $2$ متر را به طور عمودی در زمین فرو میکنیم. طول سایهی میله $1.5$ متر و طول سایهی دکل $18$ متر است. در یک لحظه، زاویهی تابش خورشید ثابت است، بنابراین مثلثهای تشکیلشده توسط دکل و سایهاش و میله و سایهاش متشابهاند (دو زاویهی قائمه و یک زاویهی حادهی مشترک با زمین).
اگر ارتفاع دکل را $h$ بنامیم، نسبت تناسب را مینویسیم:
با حل معادله:
بنابراین ارتفاع دکل $24$ متر است.
نسبت تشابه برابر $k = \frac{AD}{AB} = \frac{9}{6} = 1.5$ است. پس:
$DE = k \times BC = 1.5 \times 8 = 12$
$AE = k \times AC = 1.5 \times 10 = 15$
چالشهای مفهومی نسبت ضلعهای متناظر
❓ اگر نسبت دو ضلع متناظر برابر $2$ باشد، نسبت مساحتها چند است؟
پاسخ: نسبت مساحتها برابر مربع نسبت تشابه، یعنی $2^2 = 4$ است. زیرا مساحت با حاصلضرب دو بعد (مثلاً قاعده و ارتفاع) ارتباط دارد و هر دو بعد به نسبت $k$ تغییر میکنند.
❓ اگر دو مثلث متشابه باشند، آیا ممکن است یک ضلع از یک مثلث با دو ضلع از مثلث دیگر متناظر باشد؟
پاسخ: خیر، هر ضلع در یک مثلث دقیقاً با یک و تنها یک ضلع در مثلث دیگر متناظر است. تناظر یکبهیک است و بر اساس زاویههای مساوی تعیین میشود.
❓ فرق «نسبت ضلعهای متناظر» با «نسبت طلایی» چیست؟
پاسخ: نسبت ضلعهای متناظر یک عدد ثابت اما دلخواه برای یک جفت مثلث متشابه خاص است. نسبت طلایی (حدود $1.618$) یک عدد خاص و منحصربهفرد است که در برخی اشکال هندسی (مانند مستطیل طلایی) ظاهر میشود، اما لزوماً به تشابه دو مثلث مربوط نیست. ممکن است دو مثلث متشابه با نسبت طلایی نیز وجود داشته باشند.
بهیاد داشته باشیم: نسبت ضلعهای متناظر در مثلثهای متشابه، پلی است بین هندسهی تئوری و دنیای واقعی. از نقشهبرداری تا عکاسی و طراحیهای مهندسی، این مفهوم ساده اما قدرتمند به ما امکان میدهد تا بزرگها را از روی کوچکها، و دورها را از روی نزدیکها محاسبه کنیم. کلید استفاده از آن، تشخیص صحیح اضلاع متناظر و نوشتن تناسب درست است.
پاورقیها
1. اضلاع متناظر (Corresponding Sides): به ضلعهایی در دو مثلث متشابه گفته میشود که در برابر زاویههای مساوی قرار گرفتهاند. برای نمونه، در دو مثلث متشابه، ضلعهای بزرگتر در برابر زاویههای بزرگتر قرار دارند.
2. حالت ززز (AAA - Angle-Angle-Angle): اصلیترین حالت اثبات تشابه که بر اساس تساوی دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگر بنا شده است. نیازی به بررسی ضلعها ندارد.
3. حالت ض ز ض (SAS - Side-Angle-Side): در این حالت، نسبت دو ضلع در یک مثلث با نسبت دو ضلع در مثلث دیگر برابر و زاویهی بین آنها نیز مساوی است. این حالت تضمین میکند که مثلثها متشابهاند.
4. حالت ض ض ض (SSS - Side-Side-Side): اگر هر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر متناسب باشند (یعنی نسبت هر سه یکسان باشد)، دو مثلث متشابه خواهند بود.
