نامعادله دوگانه: از دو عبارت جدا تا یک زنجیرهٔ ریاضی
یادگیری نمایش همزمان دو محدودیت به شکل -a ≤ u ≤ a و کاربردهای آن در حل مسائل
در این مقاله با مفهوم نامعادله دوگانه آشنا میشویم؛ روشی ساده و هوشمندانه برای فشردهسازی دو نامعادلهٔ جداگانه در یک عبارت زنجیرهای. با بررسی نماد -a ≤ u ≤ a، کاربرد آن در حل مسائل قدر مطلق، فاصلهٔ اعداد روی محور و تعیین دامنهٔ جوابها را گامبهگام یاد میگیریم. مثالهای علمی و جدولهای مقایسهای درک مطلب را آسانتر میکند.
چرا نامعادله دوگانه؟ تعریف و ساختار پایه
در ریاضیات دبیرستان، اغلب با موقعیتهایی مواجه میشویم که یک متغیر باید همزمان دو شرط را ارضا کند. بهعنوانمثال، اگر دمای یک واکنش شیمیایی (u) نه کمتر از -10 درجه و نه بیشتر از 10 درجه باشد، میتوانیم این دو شرط را جداگانه بهصورت u ≥ -10 و u ≤ 10 بنویسیم. اما روش زیباتر و کوتاهتر، نوشتن آنها بهصورت یک عبارت زنجیرهای است:
-10 ≤ u ≤ 10
این ساختار که «نامعادله دوگانه»1 نام دارد، نشان میدهد u همزمان بزرگتر مساوی -10 و کوچکتر مساوی 10 است. شکل کلی آن -a ≤ u ≤ a است که در آن a یک عدد مثبت است. این نمایش بهویژه در مسائل قدر مطلق2 و بازههای متقارن کاربرد دارد.
تبدیل دو نامعادله به یک عبارت زنجیرهای: گامهای عملی
برای تبدیل دو نامعادله مانند x ≥ 3 و x ≤ 7 به یک نامعادله دوگانه، باید:- گام اول دقت کنید که جهت نامعادلهها همسو باشد. معمولاً عبارت کوچکتر (کران پایین) در سمت چپ و عبارت بزرگتر (کران بالا) در سمت راست نوشته میشود.
- گام دوم متغیر را در وسط قرار دهید: 3 ≤ x ≤ 7.
- گام سوم اگر کرانها قرینه باشند، شکل متقارن -a ≤ x ≤ a بهدست میآید.
| دو نامعادلهٔ جدا | نامعادله دوگانه | معادل قدر مطلق |
|---|---|---|
| y ≥ -4 و y ≤ 4 | -4 ≤ y ≤ 4 | |y| ≤ 4 |
| t > -2 و t | -2 | |t| |
| 2x ≥ -6 و 2x ≤ 6 | -6 ≤ 2x ≤ 6 | |2x| ≤ 6 |
کاربرد عملی: حل مسائل قدر مطلق و فاصله روی محور
یکی از رایجترین کاربردهای نامعادله دوگانه در حل معادلات و نامعادلات قدر مطلق است. عبارت |u| ≤ a (با a > 0) دقیقاً به نامعادله دوگانه -a ≤ u ≤ a تبدیل میشود. این ویژگی به ما اجازه میدهد مسائل هندسی را به زبان جبری سادهتری ترجمه کنیم. مثال: فرض کنید در یک مسابقهٔ تیراندازی، خطاهای مجاز یک ربات از 2.5 سانتیمتر بیشتر نباشد. اگر موقعیت هدف 0 در نظر گرفته شود، موقعیت برخورد x باید در فاصلهٔ 2.5 سانتیمتری هدف باشد. این یعنی:
|x| ≤ 2.5 ⇒ -2.5 ≤ x ≤ 2.5
این نمایش نهتنها محدوده را دقیق مشخص میکند، بلکه برای برنامهنویسی ربات نیز قابل فهمتر است. در فیزیک، هنگام توصیف حرکت نوسانی ساده، دامنهٔ نوسان (A) با نامعادله دوگانه -A ≤ x ≤ A توصیف میشود.
چالشهای مفهومی و پرسشهای رایج
❓ اگر کرانها قرینه نباشند، باز هم میتوانیم از فرم دوگانه استفاده کنیم؟
بله، شکل کلی نامعادله دوگانه b ≤ u ≤ c است. فرم -a ≤ u ≤ a حالت خاصی است که کرانها قرینهاند. برای مثال، دمای مجاز یک داروخانه بین 2 تا 8 درجه را میتوان بهصورت 2 ≤ T ≤ 8 نوشت.
بله، شکل کلی نامعادله دوگانه b ≤ u ≤ c است. فرم -a ≤ u ≤ a حالت خاصی است که کرانها قرینهاند. برای مثال، دمای مجاز یک داروخانه بین 2 تا 8 درجه را میتوان بهصورت 2 ≤ T ≤ 8 نوشت.
❓ چگونه میتوان یک نامعادله دوگانه را حل کرد؟
هدف یافتن بازهای برای متغیر است. کافی است عملیات جبری یکسانی را در هر سه بخش عبارت انجام دهیم. مثلاً برای حل -3 ≤ 2x+1 ≤ 5:
هدف یافتن بازهای برای متغیر است. کافی است عملیات جبری یکسانی را در هر سه بخش عبارت انجام دهیم. مثلاً برای حل -3 ≤ 2x+1 ≤ 5:
- ابتدا 1 را کم میکنیم: -4 ≤ 2x ≤ 4
- سپس بر 2 تقسیم میکنیم: -2 ≤ x ≤ 2
❓ تفاوت ≤ و در نامعادله دوگانه چیست؟
نماد ≤ نشاندهندهٔ «مساوی یا کوچکتر» است و کرانها را شامل میشود، درحالیکه کرانها را شامل نمیکند. برای مثال، -2 یعنی x هر عددی بین -2 و 2 میتواند باشد، اما خود -2 و 2 مجاز نیستند.
نماد ≤ نشاندهندهٔ «مساوی یا کوچکتر» است و کرانها را شامل میشود، درحالیکه کرانها را شامل نمیکند. برای مثال، -2 یعنی x هر عددی بین -2 و 2 میتواند باشد، اما خود -2 و 2 مجاز نیستند.
کاربرد در مسائل ترکیبی و نامعادلات زنجیرهای طولانیتر
گاهی نیاز به ترکیب بیش از دو شرط داریم. در این موارد، نامعادله دوگانه میتواند به زنجیرهای با چند بخش تبدیل شود. برای مثال، اگر متغیر y همزمان در بازههای [1,5] و [3,7] باشد، اشتراک آنها یعنی [3,5] را میتوان بهصورت 3 ≤ y ≤ 5 نوشت. این روش در تعیین دامنهٔ توابع چندضابطهای و بهینهسازی بسیار کارآمد است.
نامعادله دوگانه ابزاری قدرتمند برای سادهسازی و نمایش فشردهٔ محدودیتهاست. از فرم پایه -a ≤ u ≤ a در مسائل قدر مطلق گرفته تا زنجیرههای طولانیتر در بهینهسازی، این ساختار به دانشآموزان کمک میکند تا ارتباط بین جبر و هندسه را بهتر درک کنند. با تمرین و بهکارگیری آن در مثالهای متنوع، مسلط شدن بر این مفهوم ساده اما بنیادی امکانپذیر خواهد بود.
پاورقیها
1نامعادله دوگانه (Compound Inequality): به عبارتی گفته میشود که دو نامعادله را با عملگرهای «و» (and) یا «یا» (or) ترکیب میکند. فرم زنجیرهای مانند a حالت خاصی از ترکیب «و» است.
2قدر مطلق (Absolute Value): فاصلهٔ یک عدد حقیقی از صفر را نشان میدهد و همواره نامنفی است. رابطهٔ کلیدی |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a (برای a > 0) پایهٔ بسیاری از تبدیلات است.
2قدر مطلق (Absolute Value): فاصلهٔ یک عدد حقیقی از صفر را نشان میدهد و همواره نامنفی است. رابطهٔ کلیدی |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a (برای a > 0) پایهٔ بسیاری از تبدیلات است.
