برد تابع: مجموعه مؤلفههای دوم زوجهای مرتب
۱. مفهوم برد از نگاه زوجهای مرتب
فرض کنید تابع $f$ به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب داده شده باشد. برای مثال:
$f = \{(1,5), (2,7), (3,9), (4,7)\}$
در این صورت، مؤلفههای اول ($1,2,3,4$) ورودیهای تابع یا همان دامنه هستند. مؤلفههای دوم ($5,7,9,7$) مقادیر خروجیاند که مجموعهٔ آنها، یعنی $\{5,7,9\}$، برد تابع نامیده میشود. توجه کنید که اگر یک مقدار چند بار تکرار شده باشد (مثل عدد $7$)، در مجموعه برد فقط یک بار نوشته میشود.
۲. تفکیک مفاهیم: برد، دامنه و همدامنه
یکی از رایجترین اشتباهات دانشآموزان، یکی گرفتن مفهوم برد با همدامنه است. همدامنه مجموعهای است که هنگام تعریف تابع به عنوان مقادیر خروجی ممکن در نظر گرفته میشود، اما برد مجموعهٔ مقادیری است که واقعاً توسط تابع تولید میشوند. به عبارت دیگر، برد همیشه زیرمجموعهای از همدامنه است.
| مفهوم | تعریف (بر اساس تابع $f=\{(x,y)\}$) | مثال |
|---|---|---|
| دامنه | مجموعهٔ همهٔ مؤلفههای اول | $\{1,2,3,4\}$ |
| برد | مجموعهٔ همهٔ مؤلفههای دوم | $\{5,7,9\}$ |
| همدامنه | مجموعهای که مقادیر خروجی از آن انتخاب میشوند (معمولاً $\mathbb{R}$) | $\mathbb{R}$ (اعداد حقیقی) |
۳. روشهای محاسبه برد توابع (از نمودار تا معادله)
برای توابعی که با یک ضابطه (معادله) مانند $y=f(x)$ داده میشوند، روشهای مختلفی برای یافتن برد وجود دارد:
- روش نموداری: با رسم نمودار تابع، برد برابر با مجموعهٔ مقادیر $y$ای است که نمودار در مقابل خود میگیرد. یعنی اگر نمودار را روی محور $y$ها تصویر کنیم، برد به دست میآید.
- روش تحلیلی (معادلهگیری): در این روش، معادله را به صورت $x = g(y)$ مینویسیم. سپس شرط میکنیم که $g(y)$ برای مقادیر $y$ تعریفشده باشد (معمولاً زیر رادیکال نرود، مخرج کسر صفر نشود و ...). مجموعهٔ این $y$ها، برد تابع است.
مثال: برای تابع $y = \frac{1}{x-2}$ با دامنهٔ طبیعی $\{x \in \mathbb{R} | x \neq 2\}$. با روش معادلهگیری:
$y(x-2) = 1 \Rightarrow yx - 2y = 1 \Rightarrow yx = 1 + 2y \Rightarrow x = \frac{1+2y}{y}$
عبارت $x$ زمانی تعریف میشود که مخرج کسر، یعنی $y$، مخالف صفر باشد ($y \neq 0$). بنابراین برد تابع، مجموعهٔ همهٔ اعداد حقیقی به جز صفر است: $\{y \in \mathbb{R} | y \neq 0\}$.
۴. کاربرد عملی: از مسئلههای روزمره تا توابع
فرض کنید صاحب یک تاکسی اینترنتی هستید. تابع کرایه (بر حسب تومان) را بر اساس مسافت (بر حسب کیلومتر) به صورت $C(d) = 5000 + 3000d$ تعریف کردهاید. دامنه تابع، مجموعهٔ مسافتهایی است که سرویس میدهید، مثلاً از $0$ تا $50$ کیلومتر. برد تابع، مجموعهٔ کرایههای ممکن خواهد بود؛ از $5000$ تومان (برای مسافت صفر) تا $5000 + 3000 \times 50 = 155000$ تومان. یعنی $\{C \in \mathbb{R} | 5000 \le C \le 155000\}$. دانستن برد به شما کمک میکند بفهمید مشتریهایتان چه مبلغی را باید انتظار داشته باشند.
۵. چالشهای مفهومی
❓ سوال ۱: اگر یک تابع به صورت مجموعهٔ زوجهای مرتب $\{(a,1), (b,2), (c,2)\}$ داده شده باشد، آیا عدد $2$ در برد تابع دو بار حساب میشود؟
✅ پاسخ: خیر. برد یک مجموعه است، بنابراین اعضای تکراری فقط یک بار نوشته میشوند. برد این تابع $\{1,2\}$ است.
❓ سوال ۲: تفاوت بین برد و همدامنه در تابع $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^2$ چیست؟
✅ پاسخ: همدامنه مجموعهٔ $\mathbb{R}$ (همهٔ اعداد حقیقی) است، اما برد تنها اعداد حقیقی نامنفی است: $\{y \in \mathbb{R} | y \ge 0\}$، زیرا مربع یک عدد هرگز منفی نمیشود.
❓ سوال ۳: آیا میتوان تابعی داشت که برد آن با همدامنهاش برابر باشد؟ مثال بزنید.
✅ پاسخ: بله. به چنین توابعی، توابع پوشا میگویند. برای مثال، تابع $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1$ دارای برد $\mathbb{R}$ است که با همدامنهاش برابر است.
در این مقاله فهمیدیم که برد تابع، که از کنار هم قرار دادن مؤلفههای دوم زوجهای مرتب به دست میآید، نشاندهندهٔ محدودهٔ خروجیهای یک تابع است. تشخیص آن از دامنه و همدامنه، گام مهمی در تحلیل توابع محسوب میشود. با استفاده از روشهای نموداری و معادلهگیری میتوانیم برد انواع توابع را محاسبه کنیم و از این مفهوم در حل مسائل علمی و روزمره بهره ببریم.
پاورقیها
1تابع (Function): رابطهای که به هر عضو از دامنه، دقیقاً یک عضو از برد را نسبت میدهد.
2دامنه (Domain): مجموعهٔ تمام ورودیهای ممکن برای یک تابع.
3همدامنه (Codomain): مجموعهای که مقادیر خروجی تابع از میان آن انتخاب میشوند.
