قضیهٔ چهارضلعی محیطی: مجموع دو ضلع مقابل برابر است.

بروزرسانی شده در: 23:54 1404/10/14 مشاهده: 7 دسته بندی: کپسول آموزشی

قضیه چهارضلعی محیطی: راز دایره و چهارضلعی

چرا مجموع دو ضلع مقابل در برخی چهارضلعی‌ها برابر است؟ این مقاله، با مثال‌هایی ساده از معماری و زندگی روزمره، این ویژگی جذاب هندسه را برای شما روشن می‌کند.

خلاصه: قضیه چهارضلعی محیطی¹ یک قانون هندسی مهم است که به ما می‌گوید: اگر بتوان دایره‌ای را بر چهارضلعی ای محاط² کرد، آنگاه مجموع طول‌های دو ضلع مقابل آن با هم برابر است. این مقاله این قضیه را با بیانی ساده و مثال‌های کاربردی مثل طراحی پنجره‌های گرد یا چرخ‌های خودرو توضیح می‌دهد، رابطه آن با زوایا را بررسی می‌کند و با حل مسئله و پاسخ به سوالات متداول، درک مطلب را برای دانش‌آموزان پایه یازدهم آسان می‌سازد.

چهارضلعی محیطی چیست؟

به چهارضلعی‌ای که بتوان دایره‌ای را داخل آن طوری رسم کرد که بر تمام ضلع‌هایش مماس³ باشد، یک چهارضلعی محیطی می‌گویند. به این دایره، دایره‌ی محاطی⁴ چهارضلعی می‌گویند. همه‌ی چهارضلعی‌ها نمی‌توانند چنین دایره‌ای داشته باشند. برای مثال، یک مستطیل به راحتی دایره‌ی محاطی دارد (فکر کنید به یک زمین والیبال که دایره‌ای در وسط آن کشیده شده)، اما یک لوزی کلی لزوماً ندارد.

نکته کلیدی: مرکز دایره‌ی محاطی در چهارضلعی محیطی، نقطه‌ی برخورد نیم‌سازهای⁵ تمام زوایای داخلی آن است. این نقطه از همه‌ی ضلع‌ها به یک فاصله (شعاع دایره) است.

بیان و اثبات قضیه اصلی

قضیه به زبان ساده می‌گوید: در یک چهارضلعی محیطی، مجموع طول هر دو ضلع مقابل با هم برابر است. اگر چهارضلعی $ABCD$ داشته باشیم که به ترتیب ضلع‌های $AB$، $BC$، $CD$ و $DA$ را دارد، آنگاه:

$AB + CD = BC + DA$

چرا این رابطه برقرار است؟ از نقطه‌ی تماس⁶ دایره با هر ضلع، به رأس‌های آن ضلع خط می‌کشیم. با استفاده از یک ویژگی ساده که پاره‌خط‌های مماس از یک نقطه خارج دایره با هم برابرند، می‌توان طول هر ضلع را به صورت مجموع دو پاره‌خط تقسیم کرد. با جمع‌بندی این تساوی‌ها برای تمام ضلع‌ها، در نهایت به رابطه بالا می‌رسیم.

مرحله	توضیح	نمادگذاری
۱	نقطه‌های تماس را روی هر ضلع نام‌گذاری می‌کنیم.	نقاط تماس روی AB، BC، CD، DA به ترتیب $P$، $Q$، $R$، $S$
۲	پاره‌خط‌های مماس از یک رأس برابرند.	$AP = AS$, $BP = BQ$, $CQ = CR$, $DR = DS$
۳	طول هر ضلع را با پاره‌خط‌هایش می‌نویسیم.	$AB = AP+PB$, $BC = BQ+QC$, $CD = CR+RD$, $DA = DS+SA$
۴	با جایگزینی مقادیر برابر، جمع طرفین می‌کنیم.	$AB+CD = (AP+PB)+(CR+RD)$ و $BC+DA = (BQ+QC)+(DS+SA)$. چون $AP=AS$, $PB=BQ$, $QC=CR$, $RD=DS$، پس دو مجموع با هم برابرند.

کاربردها و مثال‌های ملموس از زندگی

این قضیه فقط یک فرمول انتزاعی نیست. در طراحی و مهندسی کاربرد دارد. تصور کنید یک طراح می‌خواهد یک میز قهوه‌خوری با رویه‌ی دایره‌ای و پایه‌هایی که چهار نقطه از محیط دایره را لمس می‌کنند بسازد. اگر پایه‌ها یک چهارضلعی محیطی را تشکیل دهند، طراح برای برش دادن الوار برای پایه‌ها می‌داند که مجموع طول دو پایه روبرو باید برابر باشد تا دایره به خوبی در داخل جای گیرد. یا در طراحی چارچوب یک پنجره‌ی دایره‌ای در یک ساختمان سنتی، این اصول می‌تواند برای بررسی تناسب قاب استفاده شود.

مثال عملی: فرض کنید یک چهارضلعی محیطی $ABCD$ داریم. سه ضلع آن را می‌دانیم: $AB = 7$، $BC = 5$، $CD = 4$ (همه بر حسب سانتی‌متر). طول ضلع $DA$ چقدر است؟
طبق قضیه: $AB + CD = BC + DA$.
پس: $7 + 4 = 5 + DA$.
در نتیجه: $DA = 11 - 5 = 6$ سانتی‌متر.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال ۱: آیا هر چهارضلعی که مجموع ضلع‌های مقابلش برابر باشد، حتماً محیطی است؟

پاسخ: خیر. شرط لازم است اما کافی نیست. شرط اصلی برای محیطی بودن، وجود نقطه‌ای است که از چهار ضلع به یک فاصله باشد (مرکز دایره محاطی). مثلاً یک ذوزنقه متساوی‌الساقین خاص ممکن است این ویژگی جمع اضلاع را داشته باشد اما نیم‌سازهای زوایایش در یک نقطه هم‌ریز نباشند، پس دایره محاطی ندارد.

سوال ۲: رابطه این قضیه با چهارضلعی‌های معروف مثل مربع، لوزی و ذوزنقه چیست؟

پاسخ:

مربع و لوزی: هر دو محیطی هستند. در مربع همه اضلاع برابرند، پس شرط قضیه به وضوح برقرار است $(a+a = a+a)$.
ذوزنقه: فقط ذوزنقه‌ای محیطی است که مجموع طول قاعده‌ها با مجموع طول ساق‌هایش برابر باشد.
متوازی‌الاضلاع: یک متوازی‌الاضلاع فقط در صورتی محیطی است که لوزی باشد (چون در متوازی‌الاضلاع کلی، نیم‌سازها هم‌ریز نیستند).

سوال ۳: آیا می‌توان از این قضیه برای محاسبه محیط چهارضلعی استفاده کرد؟

پاسخ: بله، گاهی اوقات. اگر سه ضلع معلوم و یکی مجهول باشد (مانند مثال بالا) یا اگر بدانیم مجموع یک جفت ضلع مقابل چقدر است، می‌توانیم محیط را سریع محاسبه کنیم. چون اگر $AB+CD = BC+DA = S$ باشد، آنگاه محیط کل برابر $2S$ خواهد بود.

جمع‌بندی: قضیه چهارضلعی محیطی یک رابطه ساده و زیبا بین طول ضلع‌های یک شکل چهارضلعی که پیرامون یک دایره کشیده شده است، ارائه می‌دهد: مجموع طول‌های هر دو ضلع مقابل با هم برابر است. درک این قضیه نه تنها در حل مسائل هندسی کمک می‌کند، بلکه نگاهی به کاربرد هندسه در طراحی اشیای اطراف ما می‌اندازد. به خاطر داشته باشید که این ویژگی یک شرط لازم برای محیطی بودن است، اما برای اطمینان از وجود دایره محاطی باید نیم‌سازهای زوایا را نیز بررسی کرد.

پاورقی

¹ قضیه چهارضلعی محیطی (Tangential Quadrilateral Theorem یا Pitot Theorem).
² محاط (Inscribed): در اینجا منظور چهارضلعی‌ای است که دایره در آن محاط شده، یعنی دایره داخل آن و بر ضلع‌هایش مماس است. به چنین چهارضلعی، چهارضلعی محاطی نیز می‌گویند.
³ مماس (Tangent): خط یا دایره‌ای که یک نقطه مشترک با یک منحنی یا شکل داشته باشد.
⁴ دایره محاطی (Incircle): دایره‌ای که در داخل یک چندضلعی قرار دارد و بر همه ضلع‌های آن مماس است.
⁵ نیم‌ساز (Angle Bisector): پاره‌خطی که یک زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند.
⁶ نقطه تماس (Point of Tangency): نقطه‌ای که در آن خط یا ضلع بر دایره مماس می‌شود.

قضیه چهارضلعی محیطیدایره محاطیهندسهقضیه پیتوچهارضلعی مماسی

پایهٔ یازدهم هندسه یازدهم قضیهٔ چهارضلعی محیطی

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!