دایرهٔ محیطی: دایرهای که از رأسهای یک چندضلعی عبور میکند
چندضلعیها و دایرهٔ محیطی: یک همکاری خاص
همهٔ چندضلعیها نمیتوانند یک دایرهٔ محیطی داشته باشند. داشتن دایرهٔ محیطی، شرط خاصی دارد. تصور کنید چند نفر (رأسها) دور یک میز گرد بنشینند. دایرهٔ محیطی همان لبهٔ گرد میز است که همهٔ افراد دقیقاً روی آن نشستهاند. آیا برای هر گروهی از افراد میتوان چنین میز گردی پیدا کرد؟ پاسخ منفی است. افراد باید در یک شرایط خاص مرتب شده باشند.
یک چندضلعی، تنها در صورتی میتواند دایرهٔ محیطی داشته باشد که محاطی (Cyclic) باشد. یعنی همهٔ رأسهای آن بر روی یک دایره قرار گرفته باشند. مهمترین و سادهترین چندضلعی محاطی، مثلث است. هر مثلثی، دقیقاً یک دایرهٔ محیطی منحصربهفرد دارد. اما چهارضلعیها یا چندضلعیهای با تعداد ضلع بیشتر، نیازمند شرایط ویژهای هستند.
| نوع چندضلعی | آیا دایرهٔ محیطی دارد؟ | شرط داشتن دایرهٔ محیطی | مثال ساده |
|---|---|---|---|
| مثلث | همیشه دارد | هیچ شرط خاصی ندارد. | هر مثلثی |
| چهارضلعی (متوازیالاضلاع) | معمولاً ندارد | اگر مستطیل یا مربع باشد، دارد. | مربع، مستطیل |
| چهارضلعی (لوزی) | ندارد | اگر مربع باشد (که حالت خاصی از لوزی است)، دارد. | لوزی غیرمربع |
| چهارضلعی (ذوزنقه) | معمولاً ندارد | اگر ذوزنقهٔ متساویالساقین باشد، دارد. | ذوزنقهٔ متساویالساقین |
| چندضلعی منتظم | همیشه دارد | همهٔ اضلاع و زاویهها با هم برابرند. | پنجضلعی منتظم، ششضلعی منتظم |
محاسبهها: چگونه شعاع دایرهٔ محیطی را پیدا کنیم؟
برای مثلثها، رابطهٔ جالبی بین اندازهٔ اضلاع مثلث و شعاع دایرهٔ محیطی آن وجود دارد که به فرمول معروف است. اگر اندازهٔ اضلاع مثلث را با $ a $، $ b $ و $ c $ و مساحت مثلث را با $ S $ نشان دهیم، شعاع دایرهٔ محیطی ($ R $) از رابطهٔ زیر بهدست میآید:
مثال: فرض کنید یک زمین کشاورزی به شکل مثلث قائمالزاویه دارید که اندازهٔ دو ضلع قائمهٔ آن ۳ متر و ۴ متر است. میخواهید یک سیستم آبیاری مرکزی نصب کنید که در مرکز دایرهٔ محیطی این زمین قرار گیرد و فاصلهاش از هر سه گوشهٔ زمین (شعاع دایره) یکسان باشد. چگونه شعاع را پیدا میکنید؟
- وتر مثلث (ضلع سوم) با قضیهٔ فیثاغورس: $ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $ متر.
- مساحت مثلث: $ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $ متر مربع.
- حال در فرمول بالا قرار میدهیم: $ R = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5 $ متر.
پس شعاع دایرهٔ محیطی و فاصلهٔ سیستم آبیاری مرکزی تا هر گوشهٔ زمین، ۲.۵ متر خواهد بود.
دایرهٔ محیطی در دنیای اطراف ما
این مفهوم فقط در کتابهای درسی نیست؛ نمونههای زیادی از کاربرد دایرهٔ محیطی در زندگی و فناوری وجود دارد:
۱. طراحی میز و چیدمان: اگر بخواهید یک میز گرد برای ۶ نفر طراحی کنید که هر نفر دقیقاً در رأس یک ششضلعی منتظم بنشیند، لبهٔ میز شما همان دایرهٔ محیطی آن ششضلعی است. این ایده در طراحی سالنهای کنفرانس دایرهای شکل نیز دیده میشود.
۲. نقشهبرداری و GPS: فرض کنید سه دکل مخابراتی در نقاط مختلف یک شهر قرار دارند. موقعیت شما (مثلاً تلفن همراه) نسبت به این سه دکل اندازهگیری میشود. با استفاده از اصول دایرهٔ محیطی (و تقاطع دایرهها)، موقعیت دقیق شما روی نقشه مشخص میشود. این روش در تریانگولاسیون (Triangulation) استفاده میشود.
۳. معماری و ساخت گنبدها: پایههای بسیاری از گنبدهای مدور، بر روی یک چندضلعی منتظم (مثلاً هشتضلعی) ساخته میشوند. دایرهٔ محیطی این چندضلعی، حد داخلی پایهٔ گنبد را تعیین میکند و سازه را به سمت مرکز همگرا مینماید.
۴. بازیها و ورزشها: زمین بسکتبال یک مستطیل است. اگر دایرهٔ محیطی این مستطیل را رسم کنید، مرکز دایره دقیقاً روی مرکز زمین قرار میگیرد. در برخی بازیهای کامپیوتری نیز برای تشخیص فاصلهٔ یک شخصیت از چند نقطهٔ ثابت، از محاسبات مشابهی استفاده میشود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- در مثلث حاده: مرکز محیطی داخل مثلث است.
- در مثلث قائمالزاویه: مرکز محیطی روی وسط وتر (نقطهٔ وسط بزرگترین ضلع) قرار دارد.
- در مثلث منفرجه: مرکز محیطی خارج از مثلث است.
دایرهٔ محیطی: از رأسهای چندضلعی میگذرد. مرکز آن از رأسها فاصله دارد (شعاع = فاصله تا رأس).
دایرهٔ محاطی: داخل چندضلعی است و فقط اضلاع آن را لمس میکند (بر آنها مماس است). مرکز آن از اضلاع فاصله دارد (شعاع = فاصله تا هر ضلع). هر مثلث هم دایرهٔ محیطی و هم دایرهٔ محاطی منحصربهفرد دارد، اما مراکز آنها معمولاً بر هم منطبق نیستند.
پاورقی
در این مقاله از برخی کلمات تخصصی استفاده شد که معادل انگلیسی و تعریف مختصر آنها در زیر آمده است:
۱دایرهٔ محیطی (Circumcircle): دایرهای که از تمام رأسهای یک چندضلعی میگذرد.
۲محاطی (Cyclic): صفتی برای چندضلعیهایی که میتوان دایرهای رسم کرد که از تمام رأسهای آنها بگذرد.
۳عمودمنصف (Perpendicular Bisector): خطی که یک پارهخط را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده و بر آن عمود است.
۴مرکز محیطی (Circumcenter): نقطهای که مرکز دایرهٔ محیطی یک چندضلعی (بهویژه مثلث) است و محل برخورد عمودمنصفهای اضلاع است.
۵تریانگولاسیون (Triangulation): روشی برای یافتن موقعیت یک نقطه با اندازهگیری زوایای آن نسبت به نقاط معلوم دیگر، که اغلب با استفاده از مثلثسازی انجام میشود.
