برابری وترها و کمانها در دایره
آشنایی با مفاهیم پایه: وتر، کمان و دایره
قبل از پرداختن به رابطهی اصلی، لازم است با تعریف دقیق اجزای کلیدی آشنا شویم. این تعاریف را میتوان در جدول زیر خلاصه کرد:
| عنصر هندسی | تعریف | نماد در شکل | مثال ملموس |
|---|---|---|---|
| وتر (Chord) | پارهخطی که دو نقطه روی محیط دایره را به هم وصل میکند. | قطعهی AB | یک تکه نخ مستقیم که دو نقطه روی لبهی یک بشقاب گرد را به هم وصل کرده. |
| کمان (Arc) | بخشی از محیط دایره که بین دو نقطه قرار دارد. | کمان AB (گاهی $\widehat{AB}$) | لبهی خمیدهی یک تکه کیک که بین دو برش قرار گرفته. |
| دایره (Circle) | مکان هندسی نقاطی در صفحه که فاصلهی ثابتی از یک نقطه (مرکز) دارند. | دایرهی O | چرخ دوچرخه، بشقاب گرد، حلقهی بازی. |
| زاویه مرکزی۴ (Central Angle) | زاویهای که رأس آن در مرکز دایره و ضلعهایش شعاعهایی به نقاط انتهایی کمان هستند. | $\angle AOB$ | زاویهای که اگر از مرکز چرخ به دو پره نگاه کنید، بین آنها ایجاد میشود. |
نکتهی مهم اینجاست که هر وتر، دو کمان را مشخص میکند: یک کمان کوچک (کوچکتر از نیمدایره) و یک کمان بزرگ (بزرگتر از نیمدایره). مگر در حالت خاص که وتر، قطر باشد که در این صورت هر دو کمان برابر و نیمدایره هستند. معمولاً منظور از «کمان روبروی یک وتر»، کمان کوچک است، مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد.
قضیه اصلی: بیان ریاضی و اثبات گامبهگام
قضیه: در یک دایره یا در دو دایرهی همشعاع، وترهای برابر، کمانهای برابر (از نظر اندازهی زاویهای) دارند و بالعکس. یعنی اگر $AB$ و $CD$ دو وتر در دایرهی $O$ باشند، داریم:
$ AB = CD \quad \Leftrightarrow \quad \widehat{AB} = \widehat{CD} $
منظور از $\widehat{AB} = \widehat{CD}$، برابر بودن اندازهی زاویهای این کمانها است.
اثبات (با استفاده از مثلثهای متقارن): فرض کنید در دایرهی $O$، دو وتر $AB$ و $CD$ با هم برابر باشند. نقاط $A$، $B$، $C$ و $D$ روی دایره قرار دارند. مرکز دایره $O$ را به این چهار نقطه وصل میکنیم. بنابراین چهار شعاع $OA$، $OB$، $OC$ و $OD$ را داریم که همه با هم برابرند (چرا؟ چون شعاع یک دایره هستند!).
حال دو مثلث $ \triangle AOB $ و $ \triangle COD $ را در نظر بگیرید:
- ضلع $OA = OC$ (هر دو شعاع).
- ضلع $OB = OD$ (هر دو شعاع).
- و طبق فرض، $AB = CD$.
پس این دو مثلث بر اساس حالت ضلع-ضلع-ضلع (SSS)۵ با هم برابرند.
اگر دو مثلث برابر باشند، تمام اجزای متناظرشان برابر است. بنابراین زاویهی $\angle AOB$ که زاویه مرکزی روبروی کمان $AB$ است، با زاویهی $\angle COD$ که زاویه مرکزی روبروی کمان $CD$ است، برابر میشود: $\angle AOB = \angle COD$.
از آنجایی که اندازهی هر کمان با اندازهی زاویه مرکزی نظیرش یکسان است، نتیجه میگیریم که $\widehat{AB} = \widehat{CD}$.
برعکس، اگر دو کمان برابر باشند، زاویههای مرکزی نظیر آنها برابرند. با همان استدلال و استفاده از حالت ضلع-زاویه-ضلع (SAS)۶ (چون دو ضلع شعاع و زاویه بین آنها معلوم است)، میتوان نشان داد که وترهای مقابل آن کمانها نیز برابر هستند.
مثالهای کاربردی از چرخ تا آشپزخانه
این رابطهی به ظاهر انتزاعی، در زندگی روزمره ما حضور پررنگی دارد. بیایید چند مثال را با هم بررسی کنیم:
مثال ۱: چرخ دوچرخه و پرهها
یک چرخ دوچرخه را در نظر بگیرید. همهی پرهها (از مرکز چرخ تا لبه) طول یکسانی دارند (شعاع). اما اگر دو پرهی غیر مجاور را با یک میله به هم وصل کنیم، یک وتر ایجاد کردهایم. حال اگر دو وتر مختلف در این چرخ داشته باشیم که طول یکسان دارند (مثلاً دو میلهی تقویت کننده با اندازه یکسان)، مطمئن هستیم که فاصلهی بین پایههای هر میله روی لبه چرخ (که همان کمان است) نیز به یک اندازه خواهد بود. این اصل در طراحی چرخهای محکم و متقارن استفاده میشود.
مثال ۲: تقسیم کیک به قطعات مساوی
فرض کنید میخواهید یک کیک گرد را بین 8 نفر به طور کاملاً عادلانه تقسیم کنید. اگر از مرکز کیک برش بزنید، در واقع شعاع رسم میکنید. برای داشتن قطعات کاملاً مساوی، باید زاویه مرکزی بین هر دو برش متوالی برابر باشد ($\frac{360}{8}=45$ درجه). وقتی زاویههای مرکزی برابر باشند، کمانهای لبه کیک برابر میشوند. حال سؤال: اگر به جای اندازهگیری زاویه، فقط طول خط مستقیم لبهی بیرونی هر تکه کیک (که یک وتر است!) را اندازه بگیریم، آیا این طولها باهم برابرند؟ پاسخ مثبت است! زیرا کمانهای مساوی، وترهای مساوی به وجود میآورند. پس میتوان با اطمینان گفت اگر طول خط راست لبه همهی تکهها یکی باشد، سهم همه از کیک مساوی است.
$ c = 2r \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $
این فرمول رابطه مستقیم بین اندازه کمان (از طریق $\theta$) و طول وتر را به زیبایی نشان میدهد. اگر $\theta$ برابر باشد، $c$ نیز برابر خواهد بود.مروری بر حالتهای خاص و نکات مهم
درک چند حالت خاص به تسلط بر موضوع کمک میکند:
| شرح حالت | نتیجه برای وتر | نتیجه برای کمان | توضیح |
|---|---|---|---|
| وتر، قطر دایره باشد. | بزرگترین وتر ممکن ($c=2r$) | کمانهای نظیر هر دو نیمدایره ($180^\circ$) | این حالت خاص، نمونهای از رابطه کلی است: همهی قطرها با هم برابرند و همهی نیمدایرهها نیز با هم برابرند. |
| دو وتر در دو دایره متفاوت مساوی باشند. | $AB = CD$ | کمانها لزوماً مساوی نیستند. | هشدار قضیه فقط وقتی دو وتر در یک دایره یا دو دایره همشعاع باشند، برقرار است. یک وتر کوتاه در دایرهای بزرگ، میتواند با یک وتر کوتاه در دایرهای کوچک مساوی باشد، اما کمان مقابل آنها متفاوت است. |
| فاصله وتر از مرکز دایره مساوی باشد. | وترها مساویند. | کمانها مساویند. | این یک قضیهی مرتبط دیگر است: وترهای همفاصله از مرکز دایره، با هم برابرند. پس کمان مقابل آنها نیز برابر خواهد بود. |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
۱وتر (Chord): پارهخطی که دو نقطه روی محیط یک منحنی (معمولاً دایره) را به هم وصل کند.
۲کمان (Arc): بخشی از محیط یک منحنی بسته، مانند دایره.
۳روابط مثلثاتی (Trigonometric Relations): روابط بین زوایا و اضلاع مثلث، که اغلب با توابع سینوس، کسینوس و تانژانت بیان میشوند.
۴زاویه مرکزی (Central Angle): زاویهای که رأس آن در مرکز دایره قرار دارد.
۵حالت ضلع-ضلع-ضلع (SSS): یکی از حالات تساوی دو مثلث؛ اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث برابرند.
۶حالت ضلع-زاویه-ضلع (SAS): یکی از حالات تساوی دو مثلث؛ اگر دو ضلع و زاویه بین آنها در یک مثلث، با دو ضلع و زاویه بین آنها در مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث برابرند.
