مساحت قطاع دایره: برشهایی از دنیای هندسه
قطاع دایره چیست و چه اجزایی دارد؟
فرض کنید یک پیتزای گرد کامل دارید. اگر آن را مانند کیک از مرکز برش بزنید، هر تکه یک قطاع دایره است. به زبان ریاضی، قطاع قسمتی از دایره است که توسط دو شعاع و کمان بین آنها محصور شده است. برای کار با قطاع باید با اجزای اصلی آن آشنا شویم:
| نام جزء | تعریف | نماد رایج |
|---|---|---|
| شعاع | فاصله مرکز دایره تا هر نقطه روی محیط. در قطاع، طول هر دو ضلع مستقیم. | $ r $ |
| زاویه مرکزی | زاویهای که رأس آن در مرکز دایره است و دو ضلع آن شعاعهای قطاع هستند. | $ \theta $ |
| کمان | قسمت خمیده محیط دایره که دو شعاع را به هم متصل میکند. | - |
فرمول طلایی: از نسبت زاویه به مساحت
کلید پیدا کردن مساحت قطاع، درک یک نسبت ساده است: مساحت قطاع به مساحت کل دایره، برابر است با زاویه مرکزی آن به 360 درجه. از آنجایی که مساحت کل دایره با فرمول $ \pi r^2 $ به دست میآید، میتوانیم فرمول زیر را استخراج کنیم:
• $ A_{\text{قطاع}} $ مساحت قطاع.
• $ \theta $ زاویه مرکزی بر حسب درجه.
• $ r $ شعاع دایره.
• $ \pi $ عدد پی (تقریباً 3.14).
مثال: یک پیتزا به شعاع 30 سانتیمتر را به 8 تکه مساوی تقسیم کردهایم. مساحت هر تکه چقدر است؟
ابتدا زاویه هر قطاع: $ \theta = \frac{360}{8} = 45^\circ $.
سپس در فرمول جایگذاری میکنیم:
$ A = \frac{45}{360} \times \pi \times (30)^2 = \frac{1}{8} \times \pi \times 900 = 112.5\pi $
بنابراین مساحت تقریبی هر تکه پیتزا 112.5 × 3.14 ≈ 353.25 سانتیمتر مربع است.
محاسبه مساحت در حالتهای خاص و متفاوت
گاهی اوقات اطلاعات مسئله به شکل مستقیم داده نمیشود. در اینجا به دو حالت رایج اشاره میکنیم:
حالت اول: وقتی طول کمان داده شده است.
رابطه بین طول کمان ($ l $)، زاویه مرکزی و شعاع این است: $ l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r $. اگر طول کمان و شعاع را بدانیم، میتوانیم از رابطه $ A = \frac{1}{2} l r $ استفاده کنیم! این فرمول جایگزین بسیار سادهای است. دلیل آن این است که اگر $ l $ را از رابطه بالا در فرمول اصلی مساحت جایگذاری کنیم، به این فرمول میرسیم.
حالت دوم: وقتی زاویه بر حسب رادیان3 داده شده است.
در ریاضیات پیشرفتهتر، زاویه اغلب بر حسب رادیان بیان میشود. رابطه تبدیل ساده است: $ 360^\circ = 2\pi \, \text{rad} $. اگر زاویه مرکزی بر حسب رادیان ($ \theta_{\text{rad}} $) داده شود، فرمول مساحت به شکل زیبایی ساده میشود:
مثال: قطاعی با شعاع 5 متر و زاویه مرکزی 2 رادیان را در نظر بگیرید. مساحت آن میشود: $ A = \frac{1}{2} \times (5)^2 \times 2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 2 = 25 \, \text{m}^2 $.
کاربرد مساحت قطاع: از زمینکشی تا طراحی
شاید فکر کنید این فرمولها فقط برای حل مسئلههای کتاب هستند، اما کاربردهای عملی فراوانی دارند:
مثال ۱: تقسیم باغ یک باغ گرد به شعاع 20 متر داریم و میخواهیم 15% از آن را به کاشت گل رز اختصاص دهیم. این قسمت به شکل یک قطاع خواهد بود. زاویه این قطاع چقدر باید باشد؟
ابتدا مساحت قطاع رز را حساب میکنیم: $ 0.15 \times \pi \times (20)^2 = 0.15 \times 400\pi = 60\pi $.
حال در فرمول اصلی مساحت، $ A $ و $ r $ را داریم و $ \theta $ مجهول است:
$ 60\pi = \frac{\theta}{360} \times \pi \times 400 $ => با سادهسازی $ \pi $ از دو طرف: $ 60 = \frac{\theta \times 400}{360} $ => $ \theta = \frac{60 \times 360}{400} = 54^\circ $.
پس باید قطاعی با زاویه مرکزی 54 درجه را برای گلهای رز در نظر گرفت.
مثال ۲: ساخت ساعت آفتابی یا صفحه کازینو برای طراحی صفحه یک بازی چرخنده یا حتی ساعت آفتابی، باید مساحت هر بخش رنگی یا هر عدد را دقیقاً محاسبه کرد تا همه بخشها از نظر مساوی یا طبق طرح خاصی تقسیم شده باشند. طراح با استفاده از فرمول قطاع، مساحت هر قسمت را کنترل میکند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- مساحت قطاع، کسری از مساحت کل دایره است که با نسبت زاویه مرکزی به 360 درجه تعیین میشود.
- فرمول اصلی $ A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 $ است.
- در صورت دانستن طول کمان ($ l $)، میتوان از فرمول سادهتر $ A = \frac{1}{2} l r $ استفاده کرد.
- اگر زاویه بر حسب رادیان داده شود، فرمول به $ A = \frac{1}{2} r^2 \theta $ تبدیل میشود.
- این مفهوم در موقعیتهای عملی مانند طراحی، کشاورزی و حتی تقسیم غذا کاربرد مستقیم دارد.
پاورقی
1قطاع دایره (Sector of a Circle): قسمتی از دایره که توسط دو شعاع و کمان بین آنها محدود شده است.
2زاویه مرکزی (Central Angle): زاویهای که رأس آن در مرکز دایره قرار دارد.
3رادیان (Radian): یکای اندازهگیری زاویه در دستگاه بینالمللی. هر رادیان برابر است با زاویهای که طول کمان روبروی آن برابر با شعاع دایره باشد.
4قطعه دایره (Segment of a Circle): قسمتی از دایره که توسط یک وتر و کمان بین دو سر آن وتر محدود شده است.
