نقاط درونی: نقاط شبکهای داخل چندضلعی
شبکهای از نقاط: بازی با مختصات
شبکه نقطهای و نقاط با مختصات صحیح چیست؟
تصور کنید یک صفحه شطرنجی بسیار بزرگ دارید. هر خانه این صفحه شطرنج یک مربع واحد است. محل برخورد هر خط عمودی و افقی، یک نقطه شبکهای1 نامیده میشود. به این نقاط، نقاط با مختصات صحیح2 هم میگویند. چرا؟ زیرا میتوانیم برای مشخص کردن موقعیت هر نقطه، از دو عدد صحیح (مثلاً (3,2)) استفاده کنیم. عدد اول، فاصله نقطه از محور عمودی و عدد دوم، فاصله آن از محور افقی است.
حالا اگر روی این صفحه، یک شکل هندسی مانند یک چندضلعی بکشیم، برخی از این نقاط شبکهای داخل شکل، برخی روی ضلعها و برخی خارج از آن قرار میگیرند. در این مقاله، تمرکز اصلی ما روی شمارش نقاطی است که کاملاً درون چندضلعی قرار دارند، یعنی همان نقاط درونی شبکهای3.
تفاوت نقاط درونی و نقاط مرزی
برای درک بهتر، باید بین دو نوع نقطه شبکهای تمایز قائل شویم:
| نوع نقطه | تعریف | نماد (در فرمولها) |
|---|---|---|
| نقاط درونی3 | نقاطی که مختصات صحیح دارند و کاملاً در داخل چندضلعی قرار گرفتهاند (روی هیچ ضلعی نیستند). | $I$ |
| نقاط مرزی4 | نقاطی که مختصات صحیح دارند و روی اضلاع یا رئوس چندضلعی قرار گرفتهاند. | $B$ |
مثال: یک مستطیل با رئوس (0,0)، (4,0)، (4,3) و (0,3) را در نظر بگیرید. نقطه (1,1) یک نقطه درونی است. اما نقاط (2,0) یا (4,2) روی ضلعها قرار دارند و بنابراین جزو نقاط مرزی محسوب میشوند.
قضیه پیک: رابطه جادویی بین مساحت و نقاط
یک ریاضیدان اتریشی به نام گئورگ پیک5 در سال ۱۸۹۹ رابطه شگفتانگیزی را کشف کرد. این قضیه میگوید اگر یک چندضلعی ساده (بدون خودمتقاطعی) روی نقاط شبکهای رسم کنیم، مساحت آن را میتوان تنها با شمارش نقاط درونی و مرزی محاسبه کرد!
$A = I + \frac{B}{2} - 1$
که در آن:
$A$ = مساحت چندضلعی، $I$ = تعداد نقاط درونی، $B$ = تعداد نقاط مرزی.
بیایید با یک مثال ساده فرمول را آزمایش کنیم. یک مربع واحد (به ضلع ۱) که رئوس آن روی نقاط (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) قرار دارد را در نظر بگیرید.
- تعداد نقاط درونی ($I$): هیچ نقطه شبکهای در داخل این مربع کوچک وجود ندارد. پس $I = 0$.
- تعداد نقاط مرزی ($B$): چهار رأس و هیچ نقطه دیگری روی ضلعها نیست. پس $B = 4$.
- حال در فرمول پیک جایگذاری میکنیم: $A = 0 + \frac{4}{2} - 1 = 0 + 2 - 1 = 1$.
کاربرد در دنیای واقعی: از نقشهبرداری تا هنر پیکسل
شاید بپرسید این شمارش نقاط چه کاربردی دارد؟ کاربردهای آن بیش از آنچه فکر کنید، متنوع است:
| حوزه | کاربرد | توضیح |
|---|---|---|
| نقشهبرداری | تخمین مساحت زمینهای کشاورزی | با نقشه یک زمین روی شبکه و شمارش تقریبی نقاط درونی، میتوان مساحت آن را سریع برآورد کرد. |
| گرافیک کامپیوتری | پرکردن اشکال (Fill Algorithm) | برای رنگ کردن یک ناحیه بسته در صفحه نمایش (که از پیکسلها تشکیل شده)، باید پیکسلهای درونی آن شناسایی شوند. |
| آزمونهای پیشرفته | حل مسئلههای المپیادی | قضیه پیک یک ابزار قدرتمند برای حل مسئلههای ترکیبیات-هندسه در المپیادهای ریاضی است. |
به عنوان یک مثال عملی، فرض کنید یک باغبان میخواهد مساحت باغی با شکل نامنظم را بداند. او میتواند یک شبکه شطرنجی (مثلاً با خانههای 1×1 متر) روی نقشه باغ بیندازد. سپس با شمردن تقریبی نقاط کاملاً داخل باغ ($I$) و نقاط روی حصار آن ($B$)، با استفاده از فرمول پیک، مساحت تقریبی را به سرعت محاسبه کند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر. قضیه پیک فقط برای چندضلعیهای ساده که رئوس آنها روی نقاط شبکهای قرار دارد، صادق است. اگر شکل دارای حفره باشد (مانند یک حلقه) یا ضلعهای آن یکدیگر را قطع کنند، این قضیه به طور مستقیم قابل استفاده نیست.
نقاطی که روی رئوس چندضلعی قرار میگیرند، جزو نقاط مرزی ($B$) هستند. در شمارش نقاط مرزی، هر رأس یک بار شمرده میشود، حتی اگر آن نقطه متعلق به دو ضلع باشد.
نقاط شبکهای به تمام نقاط تقاطع خطوط یک شبکه اشاره دارد. اما نقاط درونی شبکهای فقط زیرمجموعهای از این نقاط هستند که داخل یک شکل خاص افتادهاند. بنابراین هر نقطه درونی، یک نقطه شبکهای است، اما هر نقطه شبکهای لزوماً درونی یک شکل مشخص نیست.
در این سفر کوتاه به دنیای هندسه شبکهای، آموختیم که نقاط با مختصات صحیح روی یک صفحه، پایهای برای یک ایده قدرتمند هستند. با تشخیص نقاط درونی ($I$) و نقاط مرزی ($B$) یک چندضلعی، میتوانیم با استفاده از قضیه پیک ($A = I + \frac{B}{2} - 1$) مساحت آن را به شکلی جالب و جایگزین محاسبه کنیم. این مفهوم نه تنها یک تمرین ذهنی جذاب است، بلکه در علومی مانند نقشهبرداری و گرافیک کامپیوتری نیز کاربردهای عملی دارد.
پاورقی
1 Lattice Points
2 Integer Coordinates
3 Interior (Inner) Lattice Points
4 Boundary Lattice Points
5 Georg Alexander Pick
