مرکز تجانس: نقطهٔ ثابت همخطی نقاط و تصاویر
نگاهی دقیقتر به تعریف مرکز تجانس
تجانس یکی از تبدیلهای هندسی است که در آن، شکلها همشکل باقی میمانند ولی اندازهشان تغییر میکند (انبساط یا انقباض) و گاهی ممکن است جهتشان نیز معکوس شود . قلب تپندهٔ این تبدیل، نقطهای خاص به نام مرکز تجانس است. برای درک بهتر، مراحل زیر را برای یک نقطهٔ دلخواه مانند $A$ در نظر بگیرید:
۱. نقطهٔ $A$، مرکز تجانس $O$، و تصویر جدید آن یعنی $A'$، همگی باید روی یک خط راست قرار بگیرند. به این ویژگی همخطی میگویند .
۲. رابطهٔ فاصلهها به این شکل است: $OA' = |k| \times OA$ که در آن $k$نسبت تجانس نام دارد.
۳. علامت $k$ مشخص میکند تصویر در کدام سمت مرکز قرار میگیرد: اگر مثبت باشد، $A$ و $A'$ در یک سمت $O$ هستند. اگر منفی باشد، مرکز $O$ بین آن دو قرار دارد .
پس مرکز تجانس، نقطهای ثابت و بیحرکت است که تمام خطوط واصل بین هر نقطه و تصویرش از آن میگذرند. در واقع، اگر چندین نقطه و تصاویر تجانسی آنها را داشته باشیم، با امتداد دادن پارهخطهایی که هر نقطه را به تصویرش وصل میکنند، این خطها در یک نقطه — همان مرکز تجانس — همدیگر را قطع خواهند کرد .
انواع تجانس: از بزرگنمایی تا معکوسشدن
بر اساس مقدار نسبت تجانس $k$، تجانس به دو نوع کلی تقسیم میشود. جدول زیر این انواع و ویژگیهای آنها را به طور خلاصه نشان میدهد:
| نوع تجانس | مقدار نسبت k | تغییر اندازه (مقدار قدرمطلق) | وضعیت نقطه، تصویر و مرکز |
|---|---|---|---|
| تجانس مستقیم | $k > 0$ | اگر $|k|>1$: انبساط اگر $|k|: انقباض |
مرکز در یک انتهای پارهخط $AA'$ است. نقطه و تصویر در یک سمت مرکز قرار دارند . |
| تجانس معکوس | $k | اگر $|k|>1$: انبساط اگر $|k|: انقباض |
مرکز بین نقطه و تصویر آن قرار میگیرد . |
مثال عینی: فرض کنید مرکز تجانس، مرکز یک ساعت دیواری بزرگ باشد. اگر عقربهی ساعتگرد را با نسبت $k=2$ تجانس دهید، تصویر آن یک عقربهی دوبرابر بزرگتر در همان جهت خواهد بود (تجانس مستقیم). اما اگر با نسبت $k=-0.5$ تجانس دهید، تصویر عقربهای نصف اندازه و در جهت مخالف (پادساعتگرد) نسبت به مرکز ظاهر میشود (تجانس معکوس).
از نظریه تا عمل: کاربردهای مرکز تجانس در اطراف ما
مفهوم تجانس و مرکز آن تنها یک بازی ریاضی نیست، بلکه در بسیاری از پدیدههای اطراف ما دیده میشود:
۱. نقشهکشی و مقیاس: وقتی شما نقشهای از محلهتان با مقیاس ۱:۱۰۰۰۰ میکشید، در واقع یک تجانس با نسبت $k=\frac{1}{10000}$ انجام دادهاید. مرکز تجانس در اینجا میتواند نقطهای مانند میدان اصلی محله در نظر گرفته شود. تمام نقاط روی نقشه، همخط با نقطهٔ واقعی خود و این مرکز هستند.
۲. پروژکتور و سایه: نور پروژکتور روی پرده، یک تجانس ایجاد میکند. منبع نور (لامپ پروژکتور) نقش مرکز تجانس را بازی میکند. اسلاید داخل پروژکتور، شکل اصلی، و تصویر بزرگ شده روی پرده، تصویر تجانسی است. هر نقطه روی اسلاید، مرکز نور و نقطه متناظر روی پرده، همخط هستند.
۳. مرکز تلاش در هنر: هنرمندان برای طراحی یک الگوی تکراری یا بزرگ کردن طرح اولیه روی بوم نقاشی، از این اصل استفاده میکنند. نقطهای روی کاغذ الگو را با نقطهای روی بوم، به گونهای همخط با یک نقطهٔ ثابت (مثلاً میخ کوچکی روی میز کار) در نظر میگیرند و طرح را با نسبت مشخصی بزرگ میکنند.
پرسشهای متداول و اشتباهات رایج
پاسخ: خیر. مرکز تجانس میتواند داخل شکل، روی محیط آن یا حتی کاملاً خارج از شکل قرار داشته باشد. آنچه اهمیت دارد، همخطی نقاط و تصاویرشان با این نقطهٔ ثابت است. مثلاً در پروژکتور، مرکز تجانس (منبع نور) خارج از تصویر اصلی (اسلاید) قرار دارد.
پاسخ: کافی است حداقل دو جفت نقطهٔ متناظر (مثلاً $A$ و $A'$ و $B$ و $B'$) را در نظر بگیرید. پارهخط $AA'$ و $BB'$ را رسم کنید. نقطهای که این دو پارهخط (یا امتداد آنها) در آن یکدیگر را قطع میکنند، همان مرکز تجانس$O$ است .
پاسخ: خیر، این یک اشتباه رایج است. در تجانس خالص، شکل اصلاً نمیچرخد. تنها اندازه تغییر میکند و در صورت منفی بودن $k$، نسبت به مرکز وارونه میشود. حفظ شدن زوایا و تشابه۳ کامل شکل اصلی و تصویر، از ویژگیهای مهم تجانس است . چرخش مربوط به تبدیل دیگری به نام دوران است.
پاورقی
۱. تجانس (Homothety): یک تبدیل هندسی که در آن از یک نقطه ثابت (مرکز)، همه نقاط به صورت شعاعی و با یک نسبت ثابت دور یا نزدیک میشوند. شکل حاصل با شکل اولیه متشابه است.
۲. متجانس (Homothetic): دو شکلی که نسبت به یک مرکز مشترک، تجانس پذیرفته باشند. یعنی بتوان یکی را با یک تجانس به دیگری تبدیل کرد.
۳. تشابه (Similarity): رابطه بین دو شکل که در آن اندازه زوایا حفظ شده و طول اضلاع متناظر، با یک نسبت ثابت (ضریب تشابه) متفاوت است.
