ناپیوسته: مقدارهای گسسته و غیرمستمر

ناپیوسته (گسسته): دنیای شمارش و پرش

گسسته در برابر پیوسته: نقطه در مقابل خط

اولین قدم برای درک ناپیوسته، مقایسهٔ آن با مفهوم مقابلش، یعنی پیوسته است. فرض کنید می‌خواهید چیزی را اندازه بگیرید یا بشمارید.

مقادیر گسسته مانند پله‌ها یا نقطه‌هایی روی خط اعداد هستند. بین دو مقدار مجاور، مقدار دیگری از همان نوع وجود ندارد که معنا داشته باشد. برای مثال، شما نمی‌توانید 2.3 دانش‌آموز در یک کلاس داشته باشید. تعداد دانش‌آموزان می‌تواند 20، 21 یا 22 باشد. این اعداد، مجزا و قابل شمارش هستند.

مقادیر پیوسته مانند یک رمپ یا خطی کامل هستند. بین هر دو نقطه، بی‌نهایت نقطهٔ دیگر وجود دارد. قد یک نفر می‌تواند 170 سانتی‌متر، 170.5، 170.52 یا هر عدد حقیقی دیگر باشد. ما فقط به خاطر محدودیت ابزار اندازه‌گیری، آن را گرد می‌کنیم.

ریاضیات گسسته: زبان منطق و شمارش

ریاضیات گسسته، شاخه‌ای از ریاضی است که با اشیاء گسسته سروکار دارد. این اشیاء می‌توانند مجموعه‌ها، گراف‌ها، اعداد صحیح یا گزاره‌های منطقی باشند. در این بخش، دو مفهوم پایه را مرور می‌کنیم.

مجموعه‌ها: یک مجموعه، گروهی از اشیاء متمایز است. مانند مجموعهٔ حروف صدادار فارسی: $\{آ، ا، ای، او\}$. اعضای یک مجموعه گسسته و قابل شمارش هستند. تعداد اعضای یک مجموعه را با مفهوم کاردینالیتی⁶ نشان می‌دهند.

احتمال گسسته: وقتی نتایج یک آزمایش، گسسته و محدود باشند، با احتمال گسسته سر و کار داریم. احتمال رخداد $A$ از تقسیم «تعداد حالت‌های مطلوب» به «تعداد کل حالت‌های ممکن» به دست می‌آید: $P(A) = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های ممکن}}$

مثال: احتمال آمدن عدد زوج در پرتاب یک تاس استاندارد. حالت‌های مطلوب: $\{2,4,6\}$ (سه حالت). کل حالت‌ها: 6. پس احتمال برابر است با $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

زندگی دیجیتال: چگونه کامپیوترها جهان گسسته می‌سازند؟

کامپیوترها در ذات خود، ماشین‌هایی گسسته هستند. آن‌ها تنها دو چیز را می‌فهمند: روشن یا خاموش، 1 یا 0. این کوچکترین واحد اطلاعات، بیت⁷ نام دارد.

همهٔ اطلاعات در کامپیوتر — اعم از متن، عکس، صدا یا فیلم — در نهایت به رشته‌های بلندی از 1 و 0 تبدیل می‌شوند. برای مثال، هر حرف در الفبا با یک کد ثابت مانند اسکی⁸ یا یونیکد⁹ نمایش داده می‌شود که خود یک عدد صحیح (گسسته) است.

حتی وقتی یک صدای پیوسته را ضبط می‌کنیم، کامپیوتر آن را گسسته‌سازی¹⁰ می‌کند. یعنی در بازه‌های زمانی بسیار کوتاه (مثلاً 44100 بار در ثانیه)، از شدت صدا نمونه‌برداری می‌کند و به هر نمونه یک مقدار عددی گسسته نسبت می‌دهد. این فرآیند را می‌توان با پله‌های یک نردبان مقایسه کرد که یک سطح پیوسته را تقریب می‌زنند.

از نظرسنجی تا بازی رایانه‌ای: مثال‌های عینی از داده‌های گسسته

بیایید چند کاربرد عملی از مفهوم گسسته را در اطرافمان جستجو کنیم:

• نظرسنجی‌ها: گزینه‌های پاسخ یک نظرسنجی (موافق، مخالف، بی‌طرف) یا شمارهٔ صندلی‌های یک سالن، همگی گسسته هستند. شما نمی‌توانید پاسخ «نصفه‌موافق» بدهید یا روی صندلی شمارهٔ 12.5 بنشینید.
• مدیریت موجودی انبار: تعداد هر قلم کالا در انبار یک فروشگاه آنلاین (مثلاً 150 عدد تلفن همراه) یک دادهٔ گسسته است. سیستم با کاهش این عدد به ازای هر فروش، کار می‌کند.
• بازی‌های تخت‌ای و نقش‌آفرینی: در بسیاری از بازی‌های رومیزی یا رایانه‌ای، ویژگی‌های شخصیت شما (مانند سطح سلامت، قدرت حمله، تجربه) با اعداد صحیح نمایش داده می‌شوند. وقتی یک دشمن به شما ضربه می‌زند، سلامت شما مثلاً 15 واحد کاهش می‌یابد، نه 15.27 واحد.
• آمار جمعیتی: تعداد دانش‌آموزان یک مدرسه، تعداد خودروهای تولید شده در یک کارخانه، یا تعداد پیروزی‌های یک تیم ورزشی در یک فصل، همگی متغیرهای گسستهٔ مهمی هستند که برای برنامه‌ریزی و تحلیل استفاده می‌شوند.

پرسش‌های مهم و اشتباهات رایج

پاورقی

¹ Discrete: مقادیر جدا از هم و قابل شمارش.
² Continuous: مقادیری که به طور پیوسته و بدون پرش تغییر می‌کنند.
³ Data Science: دانش تحلیل و استخراج بینش از داده‌ها.
⁴ Computer Science: علم مطالعهٔ مبانی نظری اطلاعات و محاسبات و کاربردهای آن در سیستم‌های رایانه‌ای.
⁵ Discrete Probability: شاخه‌ای از احتمال که با آزمایش‌هایی با نتایج گسسته سروکار دارد.
⁶ Cardinality: تعداد اعضای یک مجموعه.
⁷ Bit (Binary Digit): کوچکترین واحد اطلاعات در رایانه.
⁸ ASCII (American Standard Code for Information Interchange): یک استاندارد کدگذاری کاراکترها.
⁹ Unicode: استاندارد جهانی برای نمایش متن در اکثر سیستم‌های نوشتاری دنیا.
¹⁰ Discretization: فرآیند تبدیل یک سیگنال پیوسته به یک سیگنال گسسته با نمونه‌برداری.