حرکت با شتاب ثابت
شناخت حرکت: سرعت، شتاب و ثابت بودن
پیش از هر چیز، باید سه مفهوم کلیدی را خوب بشناسیم: جابجایی1، سرعت2 و شتاب3. سرعت، میزان تندی و جهت حرکت را نشان میدهد. شتاب، نرخ تغییرات سرعت است. یعنی اگر سرعت جسمی در حال تغییر باشد، میگوییم شتاب دارد. حال اگر این تغییر سرعت، به صورت یکنواخت و ثابت باشد (مثلاً در هر ثانیه، 5 متر بر ثانیه به سرعت آن اضافه شود)، با حرکت با شتاب ثابت روبرو هستیم.
یک مثال ساده: خودرویی که از حالت سکون شروع به حرکت میکند و راننده پدال گاز را به مقدار ثابت نگه میدارد. در این حالت، سرعت خودرو به طور یکنواخت افزایش مییابد. برعکس، وقتی راننده به طور ثابت پدال ترمز را فشار دهد، سرعت خودرو به طور یکنواخت کاهش مییابد که به آن شتاب منفی یا کندی4 میگوییم.
| نوع حرکت | سرعت | شتاب | مثال روزمره |
|---|---|---|---|
| ساکن | 0 (ثابت) | 0 | کتاب روی میز |
| یکنواخت | ثابت | 0 | حرکت با سرعت ثابت روی خطراست |
| با شتاب ثابت | تغییر یکنواخت | مقدار ثابت (مثبت یا منفی) | سقوط آزاد یک جسم، شتاب گرفتن خودرو |
| با شتاب متغیر | تغییر ناهمگون | متغیر | حرکت در مسیر پیچ جاده |
فرمولهای طلایی: معادلات حرکت با شتاب ثابت
برای توصیف دقیق این نوع حرکت، از مجموعهای از فرمولها استفاده میکنیم که به معادلات سینماتیک5 معروفند. این معادلات، رابطه بین پنج کمیت کلیدی را نشان میدهند:
- جابجایی ($x$ یا $s$)
- سرعت اولیه ($v_0$)
- سرعت نهایی ($v$)
- شتاب ثابت ($a$)
- زمان ($t$)
1. $v = v_0 + a t$ (سرعت نهایی)
2. $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ (جابجایی)
3. $x = \frac{(v_0 + v)}{2} t$ (جابجایی با میانگین سرعت)
4. $v^2 = v_0^2 + 2 a x$ (حذف زمان)
مثال عددی: خودرویی از حالت سکون ($v_0 = 0$) با شتاب ثابت 2 متر بر مجذور ثانیه شروع به حرکت میکند. سرعت و جابجایی آن پس از 6 ثانیه چقدر است؟
حل: با استفاده از معادله اول: $v = 0 + (2)(6) = 12$ متر بر ثانیه.
با استفاده از معادله دوم: $x = 0 \times 6 + \frac{1}{2} (2) (6)^2 = 36$ متر.
تصویر حرکت: نمودار سرعت-زمان و شیب خط
رسم نمودار سرعت نسبت به زمان برای حرکت با شتاب ثابت، یک خط راست است. زیرا سرعت به طور یکنواخت تغییر میکند. شیب این خط، برابر با مقدار شتاب است.
$\text{شیب خط} = \frac{\text{تغییرات سرعت}}{\text{تغییرات زمان}} = a$
همچنین، مساحت زیر نمودار سرعت-زمان، برابر با جابجایی جسم است. این یک نکته بسیار مهم است. اگر نمودار یک خط راست باشد، این مساحت به شکل یک ذوزنقه یا مثلث در میآید که به راحتی قابل محاسبه است.
از آزمایشگاه تا زندگی: سقوط آزاد و شتاب جاذبه
بارزترین مثال حرکت با شتاب ثابت در طبیعت، سقوط آزاد6 اجسام در نزدیکی سطح زمین است. اگر از مقاومت هوا صرفنظر کنیم، همه اجسام با شتاب ثابت $g$ به سمت پایین سقوط میکنند. مقدار تقریبی $g$ روی کره زمین حدود 9.8 متر بر مجذور ثانیه است (که اغلب برای سادگی از 10 استفاده میکنیم).
مثال کاربردی: سنگی از بالای یک صخره به پایین رها میشود ($v_0 = 0$). پس از 3 ثانیه، سرعت و ارتفاع صخره چقدر بوده است؟ ($g \approx 10 \ m/s^2$)
حل:
سرعت: $v = 0 + (10)(3) = 30$ متر بر ثانیه.
ارتفاع (جابجایی): $x = 0 \times 3 + \frac{1}{2} (10) (3)^2 = 45$ متر.
در مهندسی خودرو نیز این مفاهیم حیاتی هستند. محاسبه فاصله ترمز(Braking Distance) یک خودرو که با شتاب ثابت منفی (کندی) متوقف میشود، مستقیماً با همین معادلات انجام میگیرد و برای طراحی سیستمهای ایمنی ضروری است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. «شتاب ثابت» فقط به ثابت بودن نرخ تغییر سرعت اشاره دارد. این شتاب میتواند مثبت (افزایش سرعت)، منفی (کاهش سرعت) یا حتی صفر (حرکت یکنواخت) باشد. پس حرکت با کندی ثابت نیز نمونهای از حرکت با شتاب ثابت (منفی) است.
پاسخ: زیرا سرعت به طور یکنواخت از $v_0$ به $v$ تغییر میکند. بنابراین میانگین سرعت در این بازه برابر است با $\frac{v_0 + v}{2}$. جابجایی برابر است با «میانگین سرعت» ضرب در «زمان». اگر $v = v_0 + at$ را در فرمول میانگین قرار دهیم، به $\frac{1}{2} a t^2$ میرسیم.
پاسخ: خیر. کلید حل مسئله، تشخیص کمیتهای دادهشده و کمیت خواستهشده است. سپس معادلهای را انتخاب میکنیم که شامل این کمیتها باشد و نیاز به پیدا کردن کمیتهای مجهول دیگر نداشته باشد. مثلاً اگر زمان به ما داده نشده، از معادله چهارم $(v^2 = v_0^2 + 2 a x)$ استفاده میکنیم.
پاورقی
1 جابجایی (Displacement): تغییر مکان جسم که یک کمیت برداری است (دارای اندازه و جهت).
2 سرعت (Velocity): نرخ تغییر جابجایی نسبت به زمان؛ یک کمیت برداری.
3 شتاب (Acceleration): نرخ تغییر سرعت نسبت به زمان.
4 کندی یا شتاب منفی (Deceleration/Retardation).
5 معادلات سینماتیک (Kinematic Equations).
6 سقوط آزاد (Free Fall).
