حکم: نتیجهای که باید اثبات شود
حکم چیست و چرا به آن نیاز داریم؟
در سادهترین تعریف، حکم یک گزاره یا ادعایی است که درستی یا نادرستی آن باید مشخص شود. ما هر روز با حکمهای کوچک و بزرگ روبرو میشویم. مثلاً «امروز باران میآید» یک حکم است. برای پذیرفتن آن، به شواهد (مانند ابرهای تیره) یا یک پیشبینی علمی (مانند نقشههواشناسی) نیاز داریم. در دنیای علم و به ویژه ریاضیات، حکمها دقیقتر و ساختاریافتهتر هستند.
هدف از تعریف یک حکم، جلوگیری از گمانهزنیهای بیاساس و حرکت به سمت یقین است. وقتی حکمی را اثبات میکنیم، مانند این است که خانهای را از پایه میسازیم. ابتدا مصالح (فرضیات) را میچینیم، سپس با قوانین ساخت (منطق و قواعد) آن را به سرانجام (نتیجه یا حکم) میرسانیم.
اگر «الف» درست باشد و «اگر الف، آنگاه ب» نیز درست باشد، آنگاه میتوانیم نتیجه بگیریم که «ب» درست است. در منطق ریاضی این را به شکل $(p \land (p \rightarrow q)) \rightarrow q$ نشان میدهند. این شکل سادهای از رسیدن به یک حکم است.
سفر یک حکم: از فرضیه تا نظریه
حکمها در علوم مختلف، مسیرهای متفاوتی را برای اثبات طی میکنند. درک این مسیر به ما کمک میکند تا بفهمیم دانشمندان چگونه به کشفیات بزرگ رسیدهاند.
| مرحله | ریاضیات (استدلال قیاسی) | علوم تجربی مانند فیزیک (استدلال استقرایی) |
|---|---|---|
| ۱. شروع | تعریف دقیق صورت مسئله یا قضیه | مشاهده یک پدیده و طرح فرضیه2 (یک حکم آزمایشنشده) |
| ۲. ابزار | منطق، اصول اولیه (بدیهیات5) و قضایای قبلی | آزمایش، مشاهده، جمعآوری داده و ابزارهای اندازهگیری |
| ۳. فرآیند | برهان1 منطقی قدمبهقدم (اثبات4) | تکرار آزمایش و تحلیل نتایج برای تأیید یا رد فرضیه |
| ۴. نتیجه | حکم به عنوان یک حقیقت قطعی و همیشگی پذیرفته میشود. قطعی | فرضیه ممکن است به یک نظریه6 تبدیل شود، اما همواره در معرض بازنگری است. احتمالی/توصیفی |
| ۵. مثال | مجموع زوایای داخلی هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است. | اجسام در سقوط آزاد، با شتاب ثابتی سقوط میکنند (شتاب گرانش). |
یک حکم ریاضی را چگونه اثبات میکنیم؟ (با مثال)
بیایید یک حکم سادهی هندسی را بررسی و اثبات کنیم. این مثال برای دانشآموزان متوسطه اول قابل درک است.
حکم (قضیه): در یک مثلث متساویالساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.
فرضیات (آنچه داده شده): مثلث $ABC$ که در آن $AB = AC$. ضلع $BC$ قاعده و زوایای $\angle B$ و $\angle C$ زوایای قاعده هستند.
برهان: از نقطهی $A$ (رأس مثلث) میانهی $AD$ را بر قاعده $BC$ رسم میکنیم. حالا دو مثلث $ABD$ و $ACD$ را مقایسه میکنیم:
- $AB = AC$ (فرض حکم).
- $BD = DC$ (چون $AD$ میانه است).
- ضلع $AD$ میان دو مثلث مشترک است.
با توجه به حالت ضلع-ضلع-ضلع در هندسه، دو مثلث $ABD$ و $ACD$ با هم همنهشت7 هستند. در مثلثهای همنهشت، اجزای متناظر برابرند. بنابراین زاویههای $\angle B$ و $\angle C$ که در مقابل اضلاع مساوی $AC$ و $AB$ قرار دارند، با هم برابرند. پس حکم ثابت شد.
حکم در آزمایشگاه علوم: از گمان تا واقعیت
حالا به دنیای علوم تجربی برویم. فرض کنید میخواهید حکم «گیاهان برای رشد به نور نیاز دارند» را بررسی کنید. اینجا حکم شما، یک فرضیه است.
مراحل کار:
- تعریف متغیرها: متغیر مستقل (عامل تغییر): مقدار نور. متغیر وابسته (نتیجه): سرعت رشد گیاه. متغیرهای کنترلشده (ثابت): نوع خاک، مقدار آب، دما.
- آزمایش: دو گیاه یکسان را در دو شرایط نوری متفاوت (نور کامل و تاریکی) قرار دهید.
- مشاهده و ثبت داده: قد گیاهان را در بازههای زمانی مشخص اندازهگیری و ثبت کنید.
- تحلیل و نتیجهگیری: اگر گیاه در نور بهتر رشد کرد، فرضیه شما تأیید میشود و حکم «گیاهان به نور نیاز دارند» برای این آزمایش صحیح است. البته این حکم همیشه درست نیست (برخی گیاهان سایهپسندند)، پس یک حکم علمی مطلق و قطعی مانند ریاضیات نیست، بلکه بر اساس شواهد تجربی پشتیبانی میشود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. حکم فقط یک ادعاست. درستی آن منوط به ارائهی یک برهان معتبر یا شواهد کافی تجربی است. مثلاً حکم «عدد فردی وجود دارد که بر ۲ بخشپذیر باشد» نادرست است. زیرا تعریف اعداد فرد با بخشپذیری بر ۲ در تناقض است. رد یک حکم گاهی با ارائهی یک مثال نقض ممکن است.
پاسخ:فرض یا فرضیه اطلاعاتی است که در صورت مسئله به ما داده شده و ما آنها را نقطهی شروع میدانیم. اما حکم یا نتیجه، همان چیزی است که باید از آن فرضیات استخراج کنیم و درستیاش را نشان دهیم. در واقع، فرض، مقدمه است و حکم، مؤخره.
پاسخ: قطعاً. وقتی میگویید «امروز چتر با خود میبرم»، این یک حکم شخصی است. برهان شما ممکن است ترکیبی از شواهد باشد: «چون آسمان ابری است (مشاهده)، و گزارش هوا بارانی پیشبینی کرده (داده علمی)، و دفعه قبل خیس شدم (تجربه گذشته)». این یک استدلال غیررسمی اما مؤثر برای اثبات حکم «بردن چتر منطقی است» میباشد.
پاورقی
1برهان (Proof): مجموعهای از استدلالهای منطقی که درستی یک حکم (قضیه) را بر پایهی اصول پذیرفتهشده (مثل بدیهیات و قضایای قبلی) ثابت میکند.
2فرضیه (Hypothesis): یک پیشنهاد یا توضیح موقتی برای یک پدیده که بر اساس مشاهده اولیه ارائه شده و نیاز به آزمایش و بررسی دارد تا به نظریه تبدیل شود یا رد گردد.
3قضیه (Theorem): یک گزارهی ریاضی که درستی آن با یک برهان کاملاً منطقی و بر اساس اصول اولیه (بدیهیات) اثبات شده باشد.
4اثبات (Prove): عمل یا فرآیند ارائهی یک برهان.
5بدیهیات (Axioms): گزارهها یا اصول اولیهای که در یک سیستم منطقی یا ریاضی، بدون نیاز به اثبات پذیرفته میشوند و مبنای استنتاجهای بعدی قرار میگیرند.
6نظریه (Theory) در علوم تجربی: توضیحی جامع و اثباتشده بر پایهی شواهد گسترده برای توصیف جنبههایی از جهان طبیعی که بارها آزمایش شده و مورد پذیرش جامعه علمی قرار گرفته است (مانند نظریه تکامل).
7همنهشت (Congruent): در هندسه، به اشکالی گفته میشود که از نظر اندازه و شکل کاملاً یکسان باشند، حتی اگر جهت یا موقعیت متفاوتی داشته باشند.
