جمله عمومی دنباله هندسی
1. تعریف دنباله هندسی و اجزای اصلی آن
دنباله هندسی به دنبالهای از اعداد گفته میشود که نسبت هر جمله به جملهٔ پیش از خود مقداری ثابت باشد. این مقدار ثابت را "نسبت مشترک" مینامیم و معمولاً با حرف $r$ نمایش میدهیم. اولین جمله دنباله را نیز با $a_1$ نشان میدهیم.
به عبارت دیگر، اگر $a_1, a_2, a_3, \dots$ یک دنباله هندسی باشد، آنگاه برای هر $n \ge 2$ داریم: $\frac{a_n}{a_{n-1}} = r$.
درک این دو پارامتر (جمله اول و نسبت مشترک) کلید اصلی کار با دنبالههای هندسی است. تمام جملههای بعدی با ضرب کردن مکرر جمله اول در نسبت مشترک به دست میآیند.
2. فرمول جمله عمومی (جمله nام) دنباله هندسی
با دانستن $a_1$ و $r$، میتوانیم هر جمله دلخواه دنباله را بدون نیاز به نوشتن تمام جملههای قبلی محاسبه کنیم. فرمول جمله عمومی دنباله هندسی به صورت زیر است:
در این فرمول:
- $a_n$ : جمله nام دنباله (جملهای که به دنبال آن هستیم).
- $a_1$ : اولین جمله دنباله.
- $r$ : نسبت مشترک.
- $n$ : شماره جمله (عدد طبیعی).
به عبارت سادهتر، برای رسیدن به جمله nام، کافی است جمله اول را $(n-1)$ بار در نسبت مشترک ضرب کنیم.
3. کاربرد فرمول: حل مثالهای گامبهگام
برای درک بهتر، چند مثال متنوع را با هم حل میکنیم.
مثال ۱ (یافتن جمله دلخواه): جمله دهم دنباله هندسی $3, 12, 48, \dots$ را بیابید.
حل: ابتدا $a_1 = 3$ و $r = \frac{12}{3} = 4$. برای $n=10$ داریم:
مثال ۲ (یافتن جمله اول): در یک دنباله هندسی، جمله پنجم برابر $32$ و نسبت مشترک $2$ است. جمله اول را پیدا کنید.
حل: با استفاده از فرمول $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$ و جایگذاری مقادیر: $32 = a_1 \times 2^{5-1}$.
مثال ۳ (یافتن نسبت مشترک): اگر جمله اول دنبالهای $5$ و جمله چهارم آن $40$ باشد، نسبت مشترک را محاسبه کنید.
حل: $a_4 = a_1 \cdot r^{3} \rightarrow 40 = 5 \times r^{3}$.
4. مثال عینی: رشد جمعیت باکتریها
فرض کنید جمعیت یک کلنی باکتری هر ساعت $3$ برابر میشود. اگر در ساعت اول $100$ باکتری داشته باشیم، جمعیت باکتریها در ساعت هشتم چقدر خواهد بود؟
این مسئله یک دنباله هندسی را توصیف میکند: $a_1 = 100$ و $r = 3$. میخواهیم $a_8$ را محاسبه کنیم:
بنابراین پس از $7$ ساعت (یعنی در ساعت هشتم)، جمعیت باکتریها به $218,700$ عدد میرسد. این رشد نمایی3 دقیقاً با فرمول دنباله هندسی مدلسازی میشود.
5. جدول مقایسه: حالتهای مختلف نسبت مشترک
| مقدار نسبت مشترک ($r$) | رفتار دنباله | مثال ($a_1=2$) |
|---|---|---|
| $r \gt 1$ | صعودی و واگرا (به سمت بینهایت) | $2, 6, 18, 54, \dots$ |
| $0 \lt r \lt 1$ | نزولی و همگرا (به سمت صفر) | $2, 1, 0.5, 0.25, \dots$ |
| $r = 1$ | دنباله ثابت | $2, 2, 2, 2, \dots$ |
| $-1 \lt r \lt 0$ | متناوب و همگرا (به صفر) | $2, -1, 0.5, -0.25, \dots$ |
| $r \le -1$ | متناوب و واگرا | $2, -4, 8, -16, \dots$ |
6. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا دنباله $5, 10, 20, 35, 55, \dots$ یک دنباله هندسی است؟ چرا؟
پاسخ: خیر. زیرا نسبت جمله دوم به اول $\frac{10}{5}=2$ است، اما نسبت جمله سوم به دوم $\frac{20}{10}=2$ و نسبت جمله چهارم به سوم $\frac{35}{20}=1.75$ میباشد که با مقدار قبلی برابر نیست. در یک دنباله هندسی، این نسبت باید برای تمام جملات متوالی یکسان باشد.
❓ چالش ۲: اگر در یک دنباله هندسی، $a_3 = 12$ و $a_6 = 96$ باشد، $a_1$ و $r$ را پیدا کنید.
پاسخ: میدانیم $a_6 = a_3 \cdot r^{3}$ (چون $6-3=3$ گام جلوتریم). پس $96 = 12 \times r^3 \rightarrow r^3 = 8 \rightarrow r=2$. حال با استفاده از $a_3 = a_1 \cdot r^{2}$ داریم $12 = a_1 \times 2^2 \rightarrow 12 = 4a_1 \rightarrow a_1 = 3$.
❓ چالش ۳: چرا در فرمول جمله عمومی از $n-1$ به جای $n$ به عنوان توان استفاده میشود؟ اگر توان $n$ بود، آنگاه $a_1$ چگونه محاسبه میشد؟
پاسخ: زیرا جمله اول ($n=1$) باید برابر $a_1$ باشد، نه $a_1 \times r$. اگر توان $n$ بود، برای $n=1$ داشتیم $a_1 \times r^1 = a_1 r$ که با تعریف جمله اول در تضاد است. استفاده از $n-1$ این مشکل را حل میکند، زیرا $r^{0}=1$.
فرمول جمله عمومی دنباله هندسی $a_n = a_1 r^{n-1}$، ابزاری قدرتمند برای مدلسازی پدیدههایی با رشد یا کاهش ضریبثابت است. با درک درست دو مؤلفه اصلی آن یعنی جمله اول و نسبت مشترک، میتوان هر جمله دنباله را به سادگی محاسبه کرد. این مفهوم پایهای برای مباحث پیشرفتهتر مانند سریهای هندسی و کاربردهای متنوع آن در ریاضیات و علوم دیگر است.
پاورقیها
1دنباله هندسی (Geometric Progression): دنبالهای از اعداد که در آن نسبت هر جمله به جمله پیشین خود مقداری ثابت است.
2نسبت مشترک (Common Ratio): مقدار ثابتی که با ضرب کردن آن در هر جمله، جمله بعدی به دست میآید. با حرف r نشان داده میشود.
3رشد نمایی (Exponential Growth): نوعی رشد که در آن مقدار یک کمیت در بازههای زمانی مساوی، در یک ضریب ثابت افزایش مییابد. دنبالههای هندسی با $r>1$ مصداقی از رشد نمایی هستند.
