بردار برآیند: نیروی حاصل از جمعها
بردار چیست و چه فرقی با عدد معمولی دارد؟
برای درک بردار برآیند، اول باید بدانیم بردار۲ چیست. در زندگی روزمره، بعضی چیزها فقط یک «مقدار» دارند؛ مثل دمای هوا که میگوییم 25 درجه است. به اینها نردهای۳ یا اسکالر میگویند. اما برخی چیزها هم مقدار و هم جهت دارند. مثلاً وقتی میگوییم «ماشین با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت به سمت شمال حرکت میکند»، هم مقدار سرعت و هم جهت آن را مشخص کردهایم. به این کمیتها بردار میگوییم. نیرو، جابجایی و سرعت مثالهای رایج بردار هستند.
تعریف بردار برآیند: نتیجهی نهایی چند نیرو
فرض کنید دوستتان شما را از سمت راست و دوست دیگرتان از سمت چپ، هر دو با یک نیرو هل میدهند. شما در نهایت به کدام سمت حرکت میکنید؟ پاسخ به «نتیجهی نهایی» این دو نیرو بستگی دارد که به آن بردار برآیند۱ میگوییم. به زبان ریاضی، بردار برآیند، حاصل جمع دو یا چند بردار است. یعنی اگر چند بردار (مانند چند نیرو) همزمان بر یک جسم اثر کنند، تأثیر نهایی آنها معادل تأثیر یک بردار واحد به نام بردار برآیند است.
جمع بردارها با جمع اعداد معمولی فرق دارد! چون باید جهت را هم در نظر گرفت. اگر دو بردار همجهت باشند، اندازههای آنها با هم جمع میشوند. اگر در خلاف جهت هم باشند، از هم کم میشوند.
| نوع کمیت | نماد | مثال | نحوه جمع |
|---|---|---|---|
| کمیت نردهای (عدد معمولی) | - | جرم، دما، زمان | جمع جبری ساده. مثلاً 5 + 3 = 8 |
| کمیت برداری | $\vec{F}$ , $\vec{v}$ | نیرو، سرعت، جابجایی | جمع هندسی با توجه به جهت. حاصل بردار برآیند است. |
روشهای یافتن بردار برآیند
برای به دست آوردن بردار حاصل جمع، دو روش اصلی وجود دارد: روش ترسیمی (هندسی) و روش تحلیلی (محاسباتی).
۱. روش ترسیمی: مثلث و متوازیالاضلاع
در این روش، بردارها را با حفظ اندازه و جهت، پشت سر هم یا از یک نقطه رسم میکنیم.
- روش چندضلعی (پشت سر هم): ابتدای بردار دوم را به انتهای بردار اول میچسبانیم. سپس ابتدای بردار سوم را به انتهای بردار دوم و همین طور ادامه میدهیم. بردار برآیند، برداری است که از ابتدای اولین بردار به انتهای آخرین بردار رسم میشود.
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$ - روش متوازیالاضلاع: این روش مخصوص جمع دو بردار است که از یک نقطه شروع میشوند. دو بردار را به عنوان دو ضلع مجاور متوازیالاضلاع در نظر میگیریم. قطر متوازیالاضلاع که از نقطهی شروع مشترک خارج میشود، همان بردار برآیند است.
مثال عملی: قایقی را تصور کنید که موتور آن نیرویی به اندازه 400 نیوتن به سمت شرق وارد میکند و جریان آب نیز نیرویی 300 نیوتن به سمت شمال به آن وارد میکند. با رسم این دو بردار به روش متوازیالاضلاع، قطر آن به ما جهت و اندازهی حرکت واقعی قایق را نشان میدهد.
۲. روش تحلیلی: تجزیه بردارها در راستای محورها
این روش دقیقتر است و برای محاسبات عددی استفاده میشود. ایده اصلی این است: هر بردار در صفحه را میتوان به دو مؤلفهی عمود بر هم، معمولاً در راستای محورهای x و y (شرق-غرب و شمال-جنوب) تجزیه کرد.
$A_x = A \cos \theta$ (مؤلفه افقی)
$A_y = A \sin \theta$ (مؤلفه عمودی)
حال برای جمع چند بردار، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
گام ۱: همه بردارها را به مؤلفههای x و y تجزیه میکنیم.
گام ۲: تمام مؤلفههای xها را با هم جمع جبری میکنیم تا $R_x$ به دست آید. همین کار را برای مؤلفههای y انجام میدهیم تا $R_y$ به دست آید.
گام ۳: اندازه بردار برآیند از قضیه فیثاغورس محاسبه میشود:
$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$
گام ۴: جهت برآیند نسبت به محور افقی از رابطه زیر به دست میآید:
$\theta = \tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x})$
حل یک مثال گامبهگام با روش تحلیلی
فرض کنید جسمی تحت تأثیر دو نیرو قرار دارد:
نیروی اول: $F_1 = 10\,N$ با زاویه $30^\circ$ نسبت به محور x مثبت.
نیروی دوم: $F_2 = 5\,N$ با زاویه $120^\circ$ نسبت به محور x مثبت (یعنی $90^\circ$ بالاتر از محور y مثبت).
بردار برآیند این دو نیرو را بیابید.
گام ۱ (تجزیه):
$F_{1x} = 10 \cos 30^\circ = 10 \times 0.866 = 8.66 N$
$F_{1y} = 10 \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5.00 N$
$F_{2x} = 5 \cos 120^\circ = 5 \times (-0.5) = -2.50 N$
$F_{2y} = 5 \sin 120^\circ = 5 \times 0.866 = 4.33 N$
گام ۲ (جمع مؤلفهها):
$R_x = 8.66 + (-2.50) = 6.16 N$
$R_y = 5.00 + 4.33 = 9.33 N$
گام ۳ (اندازه برآیند):
$R = \sqrt{(6.16)^2 + (9.33)^2} = \sqrt{37.95 + 87.05} = \sqrt{125} \approx 11.18 N$
گام ۴ (جهت برآیند):
$\theta = \tan^{-1}(\frac{9.33}{6.16}) \approx \tan^{-1}(1.515) \approx 56.6^\circ$
پس بردار برآیند نیرویی به اندازه تقریبی 11.18 نیوتن و در جهت 56.6 درجه نسبت به محور x مثبت است.
کاربرد بردار برآیند در فیزیک و مهندسی
مفهوم برآیند فقط یک تمرین ریاضی نیست، بلکه اساس درک بسیاری از پدیدههاست:
هوانوردی: خلبان باید برآیند نیروی پیشران موتور، نیروی مقاومت هوا و نیروی بادهای جانبی را محاسبه کند تا مسیر واقعی هواپیما را تعیین نماید.
سازهسازی: مهندس عمران برای طراحی پل، برآیند تمام نیروهای وارد بر تکتک اجزا را محاسبه میکند تا از استحکام و پایداری آن مطمئن شود.
کشتیرانی: ناخدا جهت حرکت واقعی کشتی را با در نظر گرفتن برآیند نیروی موتور و جریان آب (یا باد) تعیین میکند.
بازیهای کامپیوتری: در بازیهایی که فیزیک دارند، برای محاسبه حرکت و برخورد اجسام، دائماً بردارهای سرعت و شتاب جمع میشوند تا برآیند حرکت به دست آید.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر! این یک اشتباه رایج است. اندازه برآیند بستگی به زاویه بین بردارها دارد. اگر دو بردار در یک جهت باشند، برآیند بزرگترین مقدار ممکن (جمع اندازهها) را دارد. اگر در خلاف جهت باشند، کوچکترین مقدار ممکن (تفاضل اندازهها) را دارد. اگر بردارها عمود بر هم باشند، اندازه برآیند از قضیه فیثاغورس به دست میآید که مقداری بین این دو حد است.
پاسخ: اگر برآیند همه نیروهای وارد بر یک جسم صفر شود (یعنی $\vec{R} = 0$)، طبق قانون اول نیوتن، اگر جسم ساکن باشد، ساکن میماند و اگر در حال حرکت باشد، با سرعت ثابت روی خط راست به حرکت خود ادامه میدهد. به این حالت «تعادل» میگویند.
پاسخ: تفریق بردار $\vec{A} - \vec{B}$ در واقع معادل جمع $\vec{A} + (-\vec{B})$ است. بردار $-\vec{B}$، بردار متضاد۴ $\vec{B}$ نام دارد که اندازهای برابر اما جهتی کاملاً مخالف با $\vec{B}$ دارد. پس برای تفریق، جهت بردار دوم را معکوس کرده و سپس جمع را انجام میدهیم.
پاورقی
۱ بردار برآیند (Resultant Vector): برداری که حاصل جمع دو یا چند بردار باشد.
۲ بردار (Vector): کمیتی فیزیکی یا هندسی که دارای اندازه و جهت است.
۳ نردهای یا اسکالر (Scalar): کمیتی که تنها با یک عدد (مقدار) مشخص میشود و جهت ندارد.
۴ بردار متضاد (Opposite Vector): برداری که اندازهاش برابر ولی جهتاش مخالف بردار داده شده باشد.
