رابطهٔ خطی: جهانِ قابل پیشبینی
رابطه خطی چیست؟ از فرمول تا نمودار
فرض کنید هر مداد معمولی 2000 تومان قیمت دارد. اگر ۱ مداد بخرید، 2000 تومان، اگر ۲ مداد بخرید، 4000 تومان و اگر ۳ مداد بخرید، 6000 تومان پرداخت میکنید. بین تعداد مداد و هزینهٔ کل، یک رابطهٔ مشخص وجود دارد: هزینهٔ کل = ۲۰۰۰ × تعداد مداد.
به این نوع رابطه، رابطهٔ خطی میگویند. زیرا اگر آن را روی کاغذ میلیمتری رسم کنیم، نقاط به دست آمده دقیقاً روی یک خط راست قرار میگیرند. فرمول کلی این رابطه به صورت زیر است:
$ y = ax + b $
در این فرمول:
x:
متغیر مستقل
(مانند تعداد مداد).
y:
متغیر وابسته
(مانند هزینه کل).
a:
شیب خط
(نرخ ثابت تغییر).
b:
عرض از مبدأ
(مقدار اولیهٔ y وقتی x صفر است).
| موقعیت | فرمول | توضیح و مثال عددی | نمودار |
|---|---|---|---|
| بدون هزینهٔ اولیه |
$ y = ax $
(b = 0) |
خرید مداد: هر مداد 2000 تومان.
a = 2000 هزینه ۳ مداد: $ y = 2000 \times 3 = 6000 $ |
خطی که از مبدأ مختصات (0,0) میگذرد. |
| با هزینه یا مقدار اولیه | $ y = ax + b $ |
تاکسی: کرایهٔ اولیه 15000 تومان، به ازای هر کیلومتر 5000 تومان.
b = 15000, a = 5000 هزینه ۴ کیلومتر: $ y = (5000 \times 4) + 15000 = 35000 $ |
خطی که محور عرضها (y) را در نقطهٔ b قطع میکند. |
شیب خط: سرعت تغییرات را نشان میدهد
شیب خط (a در فرمول) مهمترین بخش رابطه خطی است. شیب به ما میگوید به ازای افزایش یک واحد در x، مقدار y چقدر تغییر میکند.
مثال: یک شمع روشن را در نظر بگیرید. ارتفاع شمع در هر ساعت 2 سانتیمتر کم میشود. اگر ارتفاع اولیه شمع 20 سانتیمتر باشد، رابطه به این شکل است: $ y = -2x + 20 $. اینجا x زمان برحسب ساعت و y ارتفاع شمع است. شیب منفی (-2) نشان میدهد ارتفاع با گذشت زمان کاهش مییابد.
شیب مثبت یعنی افزایش (مانند هزینه با افزایش تعداد) و شیب منفی یعنی کاهش (مانند ارتفاع شمع). شیب صفر هم یعنی y ثابت است و تغییر نمیکند (یک خط افقی).
از کلاس درس تا خیابان: کاربردهای روزمره
رابطه خطی فقط در کتاب ریاضی نیست، همه جا هست! چند مثال ملموس:
۱. قبض آب یا برق (پایهٔ مصرف): معمولاً یک مبلغ ثابت (عرض از مبدأ) به عنوان حق اشتراک و سپس یک مبلغ به ازای هر واحد مصرف (شیب خط) پرداخت میکنیم.
۲. تبدیل واحدها: رابطه بین سانتیگراد و فارنهایت یک رابطه خطی است: $ F = 1.8C + 32 $. این فرمول را میشناسید؟ اینجا 1.8 شیب خط و 32 عرض از مبدأ است.
۳. برنامهریزی برای پسانداز: اگر هر هفته 10000 تومان پسانداز کنید و الان 50000 تومان داشته باشید، کل پول شما پس از x هفته میشود: $ y = 10000x + 50000 $. میتوانید پیشبینی کنید بعد از ۱۰ هفته چقدر پول دارید.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
۱. پیدا کردن عرض از مبدأ (b): به نقطهای نگاه کنید که خط، محور y را قطع کرده است. مختصات آن نقطه به صورت (0 , b) است.
۲. پیدا کردن شیب (a): روی خط، دو نقطهٔ واضح انتخاب کنید. سپس از رابطهٔ «تغییرات y تقسیم بر تغییرات x» استفاده کنید: $ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $.
در نهایت a و b را در فرمول $ y = ax + b $ قرار دهید.
پاورقی
۱ رابطه خطی (Linear Relationship)
۲ شیب خط (Slope)
۳ عرض از مبدأ (y-intercept)
۴ نمودار خطی (Line Graph)
