گستردهٔ مخروط: یک قطاع دایره + دایرهٔ قاعده

گستردهٔ مخروط: بازکردن یک حجم جالب

مخروط را بهتر بشناسیم

مخروط یک حجم سه‌بعدی است که قاعدهٔ آن یک دایره است و یک رأس تیز دارد. اگر از رأس تا مرکز قاعده یک خط راست رسم کنیم، به آن محور مخروط¹ می‌گویند. در اطراف ما مخروط‌های زیادی وجود دارند: کلاه جشن‌ها، قیف‌های آشپزخانه، بعضی از سپرهای ترافیکی و حتی سرِ برخی مدادتراش‌ها.

برای ساختن یک مخروط کاغذی، باید گستردهٔ آن را روی کاغذ بکشیم و سپس برش بزنیم و تا کنیم. این گسترده دقیقاً از همان دو قسمت اصلی تشکیل شده است.

اجزای گستردهٔ مخروط

گستردهٔ یک مخروط قائم (مخروطی که محور آن بر قاعده عمود باشد) از دو شکل مسطح زیر تشکیل می‌شود:

رابطهٔ کلیدی بین این دو بخش این است: طول کمان قطاع دایره باید دقیقاً برابر با محیط دایرهٔ قاعده باشد. چون وقتی می‌خواهیم قطاع را دور قاعده بپیچیم، این کمان دقیقاً دور تا دور دایره را می‌پوشاند.

اگر شعاع قاعده را $r$ و طول یال (شعاع قطاع) را $l$ بنامیم، محیط دایره $2\pi r$ است. طول کمان یک قطاع دایره با زاویه مرکزی $\theta$ (بر حسب رادیان) برابر است با $l \times \theta$.

از الگو تا مخروط واقعی: یک مثال کاربردی

فرض کنید می‌خواهیم یک کلاه مخروطی جشن برای دوستمان درست کنیم. اندازه‌گیری کرده‌ایم که دور سر او تقریباً 50 سانتی‌متر است و می‌خواهیم ارتفاع کلاه حدود 30 سانتی‌متر باشد.

1. پیدا کردن شعاع قاعده ($r$): محیط قاعده کلاه باید برابر دور سر باشد. پس $2\pi r = 50$. با تقریب $\pi \approx 3.14$، $r \approx \frac{50}{2 \times 3.14} \approx 7.96$ سانتی‌متر می‌شود.
2. پیدا کردن طول یال ($l$): در مخروط قائم، یال مانند وتر یک مثلث قائم‌الزاویه است که یک ساق آن ارتفاع ($h=30$) و ساق دیگر شعاع قاعده ($r \approx 8$) است. پس با قضیه فیثاغورس: $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{30^2 + 8^2} = \sqrt{900 + 64} = \sqrt{964} \approx 31.05$ سانتی‌متر.
3. کشیدن قطاع دایره: حالا یک پرگار می‌گیریم و دایره‌ای به شعاع 31.05 سانتی‌متر می‌کشیم. باید قطاعی از این دایره را جدا کنیم که طول کمانش 50 سانتی‌متر (یا همان محیط قاعده) باشد. برای این کار، زاویهٔ قطاع را حساب می‌کنیم: $\theta = \frac{2\pi r}{l} = \frac{50}{31.05} \approx 1.61$ رادیان. اگر بخواهیم به درجه تبدیل کنیم: $1.61 \times \frac{180}{\pi} \approx 1.61 \times 57.3 \approx 92.2$ درجه. بنابراین با پرگار، حدود 92 درجه از دایره را علامت‌گذاری و برش می‌زنیم.
4. کشیدن دایرهٔ قاعده: جداگانه یک دایره با شعاع 8 سانتی‌متر می‌کشیم و برش می‌زنیم.
5. سرهم‌بندی: دو لبهٔ مستقیم قطاع را به هم می‌چسبانیم تا سطح جانبی مخروط شکل گیرد. سپس دایرهٔ قاعده را به پایین آن می‌چسبانیم. به این ترتیب کلاه مخروطی ما آماده است!

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹ محور مخروط (Axis of Cone): خط راستی که از رأس مخروط به مرکز قاعده آن می‌گذرد.
² یال (Slant Height): فاصلهٔ مستقیم رأس مخروط تا یک نقطه روی محیط قاعده. در گسترده، این اندازه برابر با شعاع قطاع دایره است.
³ قطاع دایره (Sector of a Circle): قسمتی از دایره که توسط دو شعاع و کمان بین آن‌ها محصور شده است.
⁴ گسترده (Net): الگوی دو بعدی یک شکل سه بعدی که با تا کردن لبه‌های آن می‌توان شکل اصلی را ساخت.