تجزیه با اتحاد مربع دو جملهای: تشخیص ساختار ((a+b)^2) یا ((a-b)^2)
معرفی اتحادهای مربع دو جملهای: دو فرمول طلایی
در جبر، برخی از تساویها همیشه برقرار هستند که به آنها اتحاد1 میگوییم. دو تا از مهمترین و پرکاربردترین این اتحادها، اتحاد مربع مجموع دو جمله و اتحاد مربع تفاضل دو جمله هستند. این اتحادها به ما کمک میکنند عبارات طولانی را سریع بهصورت ضرب دو عبارت یکسان بنویسیم یا برعکس.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
فرض کنید یک باغچهٔ مربعی دارید. اگر طول ضلع آن را $a+b$ متر در نظر بگیریم، مساحت کل آن $(a+b)^2$ خواهد بود. میتوان این مساحت را به صورت مجموع مساحت یک مربع به ضلع $a$، دو مستطیل به ابعاد $a$ و $b$ و یک مربع به ضلع $b$ نیز در نظر گرفت. این دقیقاً همان معنی فرمول اول است.
چگونه ساختار اتحاد مربع دو جملهای را تشخیص دهیم؟
برای اینکه بفهمیم یک عبارت جبری سهجملهای، مربع کامل یک دو جملهای است یا نه، باید مراحل زیر را دنبال کنیم:
| مرحله | شرح | مثال برای $x^2 + 6x + 9$ |
|---|---|---|
| 1. بررسی دو جملهٔ مربعی | دو جمله از عبارت باید مربع کامل باشند. یعنی بتوان برای هر کدام ریشهٔ مربع2 گرفت. | $x^2$ مربع کامل است (ریشه: $x$).
$9$ مربع کامل است (ریشه: $3$). |
| 2. تعیین a و b | ریشههای مربع به دست آمده را به ترتیب $a$ و $b$ بنامید. | پس: $a = x$ و $b = 3$. |
| 3. بررسی جملهٔ میانی (2ab) | جملهٔ میانی باید حاصلضرب $2$ در $a$ در $b$ باشد. علامت آن هم نشان میدهد کدام اتحاد است: علامت مثبت برای $(a+b)^2$ و علامت منفی برای $(a-b)^2$. | حاصل $2 \times a \times b = 2 \times x \times 3 = 6x$.
جمله میانی دقیقاً $+6x$ است. پس علامت مثبت است. |
| 4. نوشتن تجزیه نهایی | حالا با توجه به علامت جمله میانی، عبارت را به صورت مربع دو جملهای بنویسید. | چون جمله میانی مثبت است: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. |
کاربرد اتحادها در محاسبات سریع و حل مسائل
این اتحادها فقط برای تجزیهٔ عبارات کتاب درسی نیستند. آنها ابزاری برای محاسبات ذهنی سریع هستند. فرض کنید میخواهید مساحت یک زمین مربعی شکل را که طول ضلع آن 49 متر است، پیدا کنید. به جای ضرب 49 × 49، میتوانید این گونه فکر کنید:
$49 = 50 - 1$ پس $49^2 = (50 - 1)^2$.
طبق اتحاد دوم: $(50 - 1)^2 = 50^2 - (2×50×1) + 1^2$.
پس: $2500 - 100 + 1 = 2401$.
بنابراین مساحت زمین 2401 متر مربع است.
مثال دیگر در هندسه: اگر یک مربع به ضلع $x$ سانتیمتر داشته باشیم و از هر ضلع آن $2$ سانتیمتر کم کنیم، مساحت مربع جدید چقدر میشود؟
ضلع جدید: $x - 2$.
مساحت جدید: $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$.
این محاسبه بهراحتی و با استفاده از همان اتحاد دوم انجام شد.
مقایسه و طبقهبندی مثالهای مختلف
بیایید چند مثال مختلف را کنار هم بگذاریم و ساختار آنها را مقایسه کنیم. این کار به تشخیص سریعتر کمک میکند.
| عبارت داده شده | مربعهای کامل (a² و b²) | جمله میانی (2ab) | اتحاد مربوطه و تجزیه |
|---|---|---|---|
| $4m^2 + 20m + 25$ | $4m^2 = (2m)^2$
$25 = (5)^2$ |
$2 \times (2m) \times 5 = 20m$ (مثبت) | $(2m + 5)^2$ |
| $9x^2 - 24xy + 16y^2$ | $9x^2 = (3x)^2$
$16y^2 = (4y)^2$ |
$2 \times (3x) \times (4y) = 24xy$ (منفی) | $(3x - 4y)^2$ |
| $p^2 + 10p + 16$ | $p^2 = (p)^2$
$16 = (4)^2$ |
$2 \times p \times 4 = 8p$
ولی جمله میانی $10p$ است! |
مربع کامل نیست
چون $2ab \neq 10p$ |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1اتحاد (Identity): به تساویهای جبری گفته میشود که به ازای همهٔ مقادیر متغیرها برقرار باشند. معادل انگلیسی: Algebraic Identity.
2ریشهٔ مربع (Square Root): عدی که وقتی در خودش ضرب شود، عدد مربعشده را میدهد. مثلاً ریشهٔ مربع $25$ برابر $5$ است. معادل انگلیسی: Square Root.
