رابطهٔ جادویی: ریشهٔ سوم یک تقسیم
ریشه سوم و تقسیم: یک دوستی قدیمی
تا به حال به این فکر کردهاید که اگر یک مکعب بزرگ شکلات داشته باشید و بخواهید آن را به طور منصفانه بین چند گروه تقسیم کنید، چطور میتوانید اندازه هر قسمت را محاسبه کنید؟ اینجاست که ریشه سوم2 به کمک ما میآید. ریشه سوم یک عدد، همان عددی است که اگر سه بار در خودش ضرب شود، عدد اولیه به دست آید. مثلاً ریشه سوم $ 27 $ برابر $ 3 $ است، چون $ 3 \times 3 \times 3 = 27 $.
حالا فرمول اصلی مقاله ما: $ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} $
این فرمول میگوید به جای اینکه اول تقسیم a بر b را انجام دهیم و سپس ریشه سوم نتیجه را بگیریم، میتوانیم اول ریشه سوم هر کدام را جداگانه حساب کرده و سپس آنها را تقسیم کنیم. نتیجه یکسان خواهد بود!
چرا این فرمول درست است؟ (یک دلیل ساده)
بیایید فرض کنیم حاصل سمت راست فرمول، یعنی $ \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} $، برابر با عددی مثل x باشد. اگر این عدد را سه بار در خودش ضرب کنیم (یعنی به توان ۳ برسانیم)، باید به عبارت داخل ریشه سوم سمت چپ ($ \frac{a}{b} $) برسیم. این کار را بکنیم:
$ x^3 = (\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}})^3 = \frac{(\sqrt[3]{a})^3}{(\sqrt[3]{b})^3} = \frac{a}{b} $
دیدید؟ وقتی x را به توان ۳ میرسانیم، دقیقاً به $ \frac{a}{b} $ میرسیم. پس طبق تعریف ریشه سوم، x باید برابر با ریشه سوم $ \frac{a}{b} $ باشد. بنابراین دو طرف فرمول با هم برابرند.
از انبار مکعبی تا آشپزخانه: مثالهای کاربردی
مثال ۱: تقسیم شکر در آشپزخانه
فرض کنید ۸ کیلوگرم شکر دارید و میخواهید آن را در ۲۷ بسته مکعبیشکل با حجم مساوی بستهبندی کنید. حجم هر بسته چقدر است؟ جرم (وزن) در یک ماده یکسان مانند شکر، با حجم آن نسبت مستقیم دارد. پس نسبت حجم هر بسته به کل، مانند نسبت جرم آن است: $ \frac{8}{27} $. حالا اگر بخواهیم طول ضلع هر بسته مکعبی را پیدا کنیم، باید ریشه سوم این کسر را حساب کنیم.
راه سخت: اول تقسیم میکنیم: $ 8 \div 27 \approx 0.296 $. حالا باید ریشه سوم ۰٫۲۹۶ را پیدا کنیم که کار سختی است!
راه آسان با فرمول جدید:
$ \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3} $
پس طول ضلع هر بسته مکعبی $ \frac{2}{3} $ واحد (مثلاً دسیمتر) میشود. خیلی راحت بود، نه؟
مثال ۲: محاسبه چگالی
چگالی3 یک جسم برابر است با جرم آن تقسیم بر حجمش. اگر جرم یک تکه فلز مکعبی ۱۲۵ گرم و حجم آن ۶۴ سانتیمتر مکعب باشد، برای پیدا کردن طول ضلع مکعب، به حجم نیاز داریم که داریم. اما فرض کنید فقط چگالی ($ \frac{125}{64} $) و جنس فلز را میدانستیم و میخواستیم حجم یک مکعب از همین جنس با جرمی مشخص را پیدا کنیم، بازهم محاسباتی شبیه ریشه سوم یک کسر پیش میآید.
| شرح مسئله | محاسبه بدون فرمول (سخت) | محاسبه با فرمول ∛(a/b) = ∛a / ∛b (آسان) | نتیجه |
|---|---|---|---|
| محاسبه $ \sqrt[3]{\frac{1}{8}} $ | $ 1 \div 8 = 0.125 $ سپس ریشه سوم ۰٫۱۲۵ | $ \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} $ | ۰٫۵ |
| محاسبه $ \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} $ | $ 27 \div 1000 = 0.027 $ سپس ریشه سوم ۰٫۰۲۷ | $ \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} $ | ۰٫۳ |
| محاسبه $ \sqrt[3]{\frac{64}{216}} $ | $ 64 \div 216 \approx 0.296 $ سپس ریشه سوم | $ \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{216}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $ | حدود ۰٫۶۶۷ |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله! یک قانون مشابه برای ریشه دوم وجود دارد: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ (باز هم برای اعداد مثبت). این قانون حتی برای ریشه nام4 هم صادق است.
پاسخ: دو اشتباه متداول وجود دارد:
- توزیع نادرست روی جمع و تفریق: بعضی فکر میکنند این قانون برای جمع هم کار میکند. در حالی که اشتباه است: $ \sqrt[3]{a + b} \neq \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} $. این را با مثال امتحان کنید: $ \sqrt[3]{8+8} = \sqrt[3]{16} $ با $ \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{8}=2+2=4 $ برابر نیست.
- فراموش کردن شرط مثبت بودن: اگر a یا b منفی باشند، با احتیاط باید عمل کرد. در سطح نهم، معمولاً از اعداد مثبت استفاده میشود.
پاسخ: کافی است صورت و مخرج کسر زیر رادیکال را جداگانه در نظر بگیرید. مثلاً: $ \sqrt[3]{\frac{8x^3}{125y^3}} = \frac{\sqrt[3]{8x^3}}{\sqrt[3]{125y^3}} = \frac{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^3}}{\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{y^3}} = \frac{2x}{5y} $. دقت کنید که $ \sqrt[3]{x^3} = x $.
پاورقی
1 توزیعپذیری ریشه سوم روی تقسیم (Distributivity of Cube Root over Division)
2 ریشه سوم (Cube Root): عددی که وقتی در خودش دو بار دیگر ضرب شود، عدد اصلی را دهد.
3 چگالی (Density): جرم یک ماده در واحد حجم آن.
4 ریشه nام (n-th Root): عملیات معکوس به رساندن به توان n.
5 کعب کامل (Perfect Cube): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش و در خودش باشد (مانند ۱، ۸، ۲۷، ۶۴ و ...).
