ریشهٔ حاصلضرب: یک قانون ساده و پرکاربرد
ریشه دوم چیست و چه مفهومی دارد؟
قبل از پرداختن به قانون اصلی، بیایید مفهوم ریشه دوم1 را مرور کنیم. ریشه دوم یک عدد، مانند $\sqrt{25}$، عددی است که اگر در خودش ضرب شود، عدد داخل ریشه (ماده رادیکال) را به دست میدهد. مثلاً $\sqrt{25}=5$ چون $5 \times 5 = 25$.
حالا تصور کنید میخواهید مساحت یک زمین کشاورزی مربعشکل را محاسبه کنید. اگر بدانید مساحت آن 144 متر مربع است، طول ضلع زمین، ریشه دوم این عدد، یعنی $\sqrt{144}=12$ متر خواهد بود. این سادهترین حالت است. اما اگر عدد داخل ریشه بزرگ و یا حاصل ضرب دو عدد باشد، چه میکنید؟
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
این قانون بیان میکند که ریشه دوم یک حاصلضرب، با حاصلضرب ریشههای دوم عوامل آن برابر است. شرط اساسی این است که اعداد a و b باید نامنفی (بزرگتر یا مساوی صفر) باشند.
آشنایی با قانون ریشه حاصلضرب با یک مثال ملموس
فرض کنید یک صفحه کاغذ مستطیلی دارید که میخواهید آن را به 2 قسمت مساوی (مربعی) تقسیم کنید. اگر مساحت کل صفحه 72 سانتیمتر مربع باشد، مساحت هر مربع کوچک 36 سانتیمتر مربع خواهد بود (72÷2=36). حالا طول ضلع هر مربع کوچک برابر است با $\sqrt{36}=6$ سانتیمتر.
حالا بیایید مستقیم از مساحت کل و قانون مقاله استفاده کنیم. میدانیم 72 = 36 × 2. بنابراین:
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}$
طبق قانون: $\sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$
و میدانیم $\sqrt{36}=6$، پس:
$\sqrt{72} = 6 \times \sqrt{2}$
این همان طول ضلع مربعی است که مساحتی برابر با کل صفحه (72) دارد. میبینید که قانون، محاسبه ریشه 72 را به محاسبه ریشه 36 (که ساده است) و ریشه 2 تبدیل کرد.
چگونه و در کجا از این قانون استفاده کنیم؟
این قانون دو کاربرد اصلی دارد: سادهسازی رادیکال2 و محاسبه راحتتر ریشه. جدول زیر چند مثال گامبهگام را نشان میدهد:
| هدف و مثال | مراحل محاسبه با قانون | نتیجه و توضیح |
|---|---|---|
|
سادهکردن:
$\sqrt{50}$ |
1. تجزیه: 50 = 25 × 2
2. اعمال قانون: $\sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2}$ 3. محاسبه بخش معلوم: $\sqrt{25}=5$ |
$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
رادیکال سادهتر شد. عدد 25 یک مربع کامل3 بود. |
|
ضرب رادیکالها:
$\sqrt{3} \times \sqrt{12}$ |
1. قانون را برعکس استفاده میکنیم:
$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12}$
2. محاسبه حاصلضرب داخل ریشه: 3 × 12 = 36 3. محاسبه ریشه نهایی: $\sqrt{36}=6$ |
پاسخ: $6$
ابتدا رادیکالها را در هم ضرب کردیم و سپس ریشه حاصل را گرفتیم. راهحل هوشمندانه
|
|
محاسبه عددی:
$\sqrt{900}$ |
1. تجزیه به عوامل ساده:
900 = 9 × 100
2. اعمال قانون: $\sqrt{9 \times 100} = \sqrt{9} \times \sqrt{100}$ 3. محاسبه ریشههای کوچک: $\sqrt{9}=3$ و $\sqrt{100}=10$ |
$\sqrt{900}=3 \times 10 = 30$
محاسبه ریشه 900 مستقیماً ممکن است سخت باشد، اما ریشه 9 و 100 آسان است. |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر! این یک اشتباه بسیار رایج است. قانون فقط برای ضرب (و تقسیم) برقرار است. بررسی میکنیم:
$\sqrt{9+16} = \sqrt{25}=5$
اما $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$
$5 \neq 7$. پس مراقب باشید: هشدار ریشه جمع برابر با جمع ریشهها نیست.
پاسخ: خیر. در سطح پایهٔ نهم، ما فقط ریشه دوم اعداد نامنفی (صفر و اعداد مثبت) را تعریف میکنیم. $\sqrt{-4}$ در اعداد حقیقی تعریف نشده است. هرچند (-4)×(-9)=36 و $\sqrt{36}=6$، اما نمیتوانیم از اعداد منفی زیر ریشه استفاده کنیم. شرط اصلی قانون، نامنفی بودن a و b است.
پاسخ: بزرگترین فایده در سادهسازی رادیکالها و محاسبات ذهنی یا کاغذی است. وقتی با اعداد بزرگی مثل $\sqrt{288}$ روبرو میشوید، با تجزیه آن به عوامل (مثلاً 144×2 یا 36×8) و بیرون کشیدن ریشه بخش مربع کامل، پاسخ را به شکل سادهتری مثل $12\sqrt{2}$ مینویسید که دقیقتر و حرفهایتر است.
- قانون طلایی $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ یک ابزار قدرتمند برای کار با ریشه دوم است.
- این قانون فقط برای ضرب و تقسیم است و برای جمع و تفریق برقرار نیست.
- برای استفاده از قانون، اعداد زیر ریشه باید بزرگتر یا مساوی صفر باشند.
- از این قانون میتوان هم برای ساده کردن یک رادیکال بزرگ و هم برای ضرب کردن دو رادیکال کوچکتر استفاده کرد.
- همیشه به دنبال مربع کامل3ها در عوامل عدد باشید تا محاسبات را سادهتر کنید.
پاورقی
1. ریشه دوم (Square Root): عددی که وقتی در خودش ضرب شود، عدد مورد نظر را تولید کند. نماد آن √ است.
2. سادهسازی رادیکال (Simplifying Radicals): نوشتن یک عبارت رادیکالی به سادهترین شکل ممکن، معمولاً با بیرون کشیدن بزرگترین مربع کامل از زیر ریشه.
3. مربع کامل (Perfect Square): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشد. مانند: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
