دوره تناوب: راز رقم‌های تکرارشونده
اعداد گویا و نمایش اعشاری آن‌ها
اعداد گویا، اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت، به طوری که مخرج کسر صفر نباشد. برای مثال، $\frac{1}{2}$، $\frac{3}{4}$ و $\frac{5}{1}$ همگی اعداد گویا هستند. وقتی این کسرها را به صورت اعشاری بنویسیم، دو حالت پیش می‌آید:
| نوع نمایش | توضیح | مثال |
|---|---|---|
| اعشاری پایان‌پذیر[4] | عددی که قسمت اعشاری آن پس از چند رقم تمام می‌شود. | $\frac{1}{2} = 0.5$ |
| اعشاری تناوبی[5] | عددی که یک یا چند رقم در قسمت اعشاری آن تا بی‌نهایت تکرار می‌شود. | $\frac{1}{3} = 0.333...$ |
در نمایش اعشاری تناوبی، دوره تناوب، همان رقم یا رقم‌هایی است که تکرار می‌شوند. برای نشان دادن دوره تناوب، معمولاً یک خط روی آن رقم‌ها می‌کشیم. مثلاً در عدد $0.333...$، رقم $3$ دوره تناوب است و آن را به صورت $0.\overline{3}$ نشان می‌دهیم.
چگونه دوره تناوب را پیدا کنیم؟
برای پیدا کردن دوره تناوب یک عدد گویا، کافی است صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم کنیم. اگر در حین تقسیم، باقیمانده‌ای تکرار شود، به این معنی است که ما به یک دوره تناوب رسیده‌ایم.
1. تقسیم $1$ بر $7$ را شروع می‌کنیم. چون $1$ کوچک‌تر از $7$ است، خارج‌قسمت را $0$ و بعد از اعشار قرار می‌دهیم.
2. $1$ را به $10$ تبدیل می‌کنیم. $10 \div 7 = 1$ و باقیمانده $3$.
3. باقیمانده $3$ را به $30$ تبدیل می‌کنیم. $30 \div 7 = 4$ و باقیمانده $2$.
4. این روند را ادامه می‌دهیم: $20 \div 7 = 2$ (باقی$6$)، $60 \div 7 = 8$ (باقی$4$)، $40 \div 7 = 5$ (باقی$5$)، $50 \div 7 = 7$ (باقی$1$).
5. وقتی باقیمانده $1$ دوباره تکرار شد، یعنی دوره تناوب کامل شده است. ارقام خارج‌قسمت از اولین بار که باقیمانده تکرار شد، دوره تناوب هستند: $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$.
طول دوره تناوب همیشه از مخرج کسر کوچک‌تر است. برای کسر $\frac{1}{7}$، مخرج $7$ است و طول دوره تناوب $6$ رقم می‌باشد.
دوره تناوب در دنیای اطراف ما
شاید فکر کنید دوره تناوب فقط یک مفهوم ریاضی خشک است، اما مثال‌های ملموس زیادی از آن در زندگی وجود دارد.
فرض کنید با سه دوست خود یک پیتزا را به طور مساوی تقسیم کرده‌اید. سهم هر نفر می‌شود $\frac{1}{3}$ پیتزا. اگر بخواهید این کسر را به صورت اعشاری و با واحد پول (مثلاً تومان) نشان دهید، می‌شود $0.\overline{3}$. اگر قیمت پیتزا 30000 تومان باشد، سهم هر نفر دقیقاً 10000 تومان می‌شود. اما اگر قیمت 10000 تومان نباشد، مثلاً 1000 تومان، آنگاه سهم هر نفر $333.\overline{3}$ تومان می‌شود که در دنیای واقعی آن را به 333 تومان گرد می‌کنیم. این گرد کردن به خاطر وجود همان دوره تناوب است.
مثال دیگر، تبدیل واحد زمان است. یک سوم ساعت برابر است با 20 دقیقه. اما اگر بگوییم یک سوم دقیقه، می‌شود $0.\overline{3}$ دقیقه که معادل 20 ثانیه است. در اینجا هم با یک نمایش اعشاری تناوبی روبرو هستیم.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. فقط آن دسته از اعداد گویا که نمایش اعشاری آن‌ها پایان‌ناپذیر است، دوره تناوب دارند. اعداد گویایی که نمایش اعشاری پایان‌پذیر دارند (مانند $0.5$)، فاقد دوره تناوب به معنای واقعی هستند، اگرچه می‌توان آن‌ها را به صورت عددی با دوره تناوب صفر در نظر گرفت (مثلاً $0.5 = 0.5000... = 0.5\overline{0}$).
بله. گاهی اوقات یک یا چند رقم اول در قسمت اعشاری تکرار نمی‌شوند و سپس دوره تناوب آغاز می‌گردد. به این رقم‌های اول، اعداد غیر تناوبی[6] می‌گویند. برای مثال، عدد $0.16\overline{6}$ را در نظر بگیرید. این عدد از کسر $\frac{1}{6}$ به دست می‌آید. رقم $1$ غیرتناوبی است و دوره تناوب آن فقط رقم $6$ می‌باشد.
درک دوره تناوب به ما کمک می‌کند تا بفهمیم چرا بعضی از محاسبات در ریاضیات و علوم دیگر، دقیقاً برابر یک عدد صحیح نمی‌شوند و همیشه یک تقریب وجود دارد. این موضوع در محاسبات مالی، مهندسی و برنامه‌نویسی کامپیوتر بسیار حیاتی است.
دوره تناوب، قلب تپنده‌ی بسیاری از اعداد گویا است. آن‌ها الگوهای تکرارشونده‌ای هستند که در پس نمایش اعشاری این اعداد پنهان شده‌اند. با تقسیم صورت بر مخرج یک کسر ساده می‌توانیم این الگوها را کشف کنیم. این مفهوم نه تنها زیبایی ریاضیات را به ما نشان می‌دهد، بلکه در مسائل روزمره، از تقسیم یک پیتزا تا مدیریت زمان، کاربرد عملی دارد.
پاورقی
[1]عدد گویا (Rational Number): عددی که بتوان آن را به صورت کسری $\frac{a}{b}$ نوشت که در آن $a$ و $b$ اعداد صحیح و $b \neq 0$ است.
[2]دوره تناوب (Repeating Decimal/Period): رقم یا رشته‌ای از ارقام در بخش اعشاری یک عدد که بی‌پایان و به طور متوالی تکرار می‌شوند.
[3]نمایش اعشاری (Decimal Representation): نمایش یک عدد با استفاده از یک جزء صحیح و یک جزء اعشاری که با نقطه یا ممیز از هم جدا می‌شوند.
[4]اعشاری پایان‌پذیر (Terminating Decimal): عدد اعشاری که پس از تعداد محدودی رقم، قسمت اعشاری آن به پایان میرسد.
[5]اعشاری تناوبی (Repeating Decimal): عدد اعشاری که در آن یک یا چند رقم در بخش اعشاری، تا بی‌نهایت تکرار می‌شوند.
[6]اعداد غیر تناوبی (Non-repeating Digits): ارقامی در بخش اعشاری که قبل از شروع دوره تناوب ظاهر می‌شوند و خود بخشی از الگوی تکرارشونده نیستند.
