تقسیم دو عدد توان‌دار با نماهای مساوی

بروزرسانی شده در: 12:33 1404/09/6 مشاهده: 8 دسته بندی: کپسول آموزشی

تقسیم اعداد توان‌دار: وقتی نماها یکی هستند

یک راهکار ساده و سریع برای محاسبات پیچیده

این مقاله به بررسی قاعده‌ی تقسیم دو عدد توان‌دار وقتی که توان آن‌ها با هم برابر است، می‌پردازد. شما با یادگیری این قاعده، محاسبات ریاضی خود را ساده‌تر و سریع‌تر خواهید کرد. کلیدواژه‌های اصلی این مبحث عبارت‌اند از: تقسیم توان‌ها، نمای مساوی، پایه‌های متفاوت و ساده‌سازی محاسبات.

توان و نمادگذاری علمی: یک یادآوری کوتاه

قبل از شروع، بهتر است مفهوم توان^[1] را مرور کنیم. توان یک روش کوتاه برای نشان دادن ضرب متوالی یک عدد در خودش است. برای مثال، $ 5^3 $ به این معنی است که عدد 5 را سه بار در خودش ضرب کنیم: $ 5 \times 5 \times 5 = 125 $. به عدد 5، پایه^[2] و به عدد 3، نما^[3] یا توان می‌گوییم.

کشف قاعده: وقتی نماها شبیه هم هستند

فرض کنید می‌خواهیم حاصل $ 6^4 \div 3^4 $ را پیدا کنیم. هر دو عبارت توانی، نمای 4 دارند. یک راه این است که هر دو را کامل حساب کرده و سپس تقسیم کنیم:

$ 6^4 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296 $

$ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 $

حالا تقسیم می‌کنیم: $ 1296 \div 81 = 16 $

اما راه ساده‌تری هم وجود دارد! توجه کنید که 16 برابر است با $ 2^4 $. و 2 هم حاصل تقسیم پایه‌هاست ($ 6 \div 3 = 2 $).

قاعدهٔ طلایی: برای تقسیم دو عدد توان‌دار با نماهای مساوی، پایه‌ها را تقسیم کرده و نتیجه را به توان مشترک می‌رسانیم.

$ a^m \div b^m = (a \div b)^m $

پس در مثال ما: $ 6^4 \div 3^4 = (6 \div 3)^4 = 2^4 = 16 $. می‌بینید که چقدر محاسبه سریع‌تر شد!

مقایسه‌ی دو روش محاسبه

برای درک بهتر مزیت این قاعده، دو روش حل یک مسئله را در جدول زیر مقایسه کنید:

مسئله	روش معمولی (طولانی)	روش استفاده از قاعده (کوتاه)	کارآیی
$ 10^3 \div 2^3 $	1000 ÷ 8 = 125	$ (10 \div 2)^3 = 5^3 = 125 $	عالی
$ 8^2 \div 4^2 $	64 ÷ 16 = 4	$ (8 \div 4)^2 = 2^2 = 4 $	عالی
$ 15^5 \div 3^5 $	محاسبه اعداد بسیار بزرگ	$ (15 \div 3)^5 = 5^5 = 3125 $	ضروری

کاربرد قاعده در دنیای اطراف ما

این قاعده فقط برای حل مسائل کتاب درسی نیست. فرض کنید یک باغ دارید که به شکل مربع است و مساحت آن $ 6^2 $ مترمربع (یعنی طول هر ضلع 6 متر) است. حالا می‌خواهید این باغ را بین دو فرزندتان به طور مساوی تقسیم کنید، به طوری که زمین هر کدام هم مربعی شکل باشد. مساحت زمین هر فرزند چقدر می‌شود؟

مساحت کل: $ 6^2 $. چون بین دو نفر تقسیم می‌شود، می‌توان گفت این مساحت بر $ 2^2 $ تقسیم می‌شود (چون هر نفر یک مربع زمین می‌گیرد و 2 به توان 2 نمایانگر تقسیم به دو قسمت مربعی است).

پس: $ 6^2 \div 2^2 = (6 \div 2)^2 = 3^2 = 9 $ مترمربع. بنابراین مساحت زمین هر فرزند 9 مترمربع خواهد بود.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال: آیا این قاعده برای حالتی که پایه‌ها مساوی اما نماها متفاوت هستند هم جواب می‌دهد؟

پاسخ: خیر. این قاعده مخصوص وقتی است که نماها با هم برابر باشند. اگر پایه‌ها مساوی و نماها متفاوت باشند، از قاعده‌ی دیگری استفاده می‌کنیم: $ a^m \div a^n = a^{m-n} $. این دو قاعده را با هم اشتباه نگیرید.

سوال: اگر تقسیم پایه‌ها عددی کسری شود، چه کار کنیم؟ مثلاً $ 4^3 \div 8^3 $؟

پاسخ: قاعده همچنان پابرجاست. کافی است پایه‌ها را تقسیم کنید: $ 4 \div 8 = \frac{1}{2} $. سپس نتیجه را به توان برسانید: $ (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} $. پس $ 4^3 \div 8^3 = \frac{1}{8} $.

سوال: آیا ترتیب نوشتن اعداد در تقسیم مهم است؟ یعنی آیا $ a^m \div b^m $ با $ b^m \div a^m $ یکسان است؟

پاسخ: خیر، مهم است. در تقسیم، همیشه عدد اول (صورت^[4]) بر عدد دوم (مخرج^[5]) تقسیم می‌شود. این دو با هم معکوس یکدیگر هستند. $ a^m \div b^m = (\frac{a}{b})^m $ در حالی که $ b^m \div a^m = (\frac{b}{a})^m $.

جمع‌بندی: در این مقاله یاد گرفتیم که وقتی می‌خواهیم دو عدد توان‌دار را که نماهای یکسانی دارند، بر هم تقسیم کنیم، می‌توانیم به جای محاسبه‌ی جداگانه‌ی هر توان و انجام تقسیم، یک تقسیم ساده‌تر انجام دهیم. کافی است پایه‌ها را بر هم تقسیم کرده و حاصل را به توان مشترک برسانیم. این کار باعث صرفه‌جویی در زمان و کاهش احتمال خطا در محاسبات، به ویژه با اعداد بزرگ می‌شود.

پاورقی

^[1] توان (Power/Exponent): نشان‌دهنده‌ی تعداد دفعات ضرب یک عدد در خودش.

^[2] پایه (Base): عددی که در خودش ضرب می‌شود.

^[3] نما (Exponent): عددی که نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.

^[4] صورت (Numerator): عددی که در کسر، در قسمت بالا قرار می‌گیرد و در تقسیم، عددی است که تقسیم می‌شود.

^[5] مخرج (Denominator): عددی که در کسر، در قسمت پایین قرار می‌گیرد و در تقسیم، عددی است که صورت بر آن تقسیم می‌شود.

قانون تقسیم توان نماهای مساوی ساده سازی ریاضی محاسبات سریع ریاضی پایه هشتم

پایهٔ هشتم ریاضی هشتم تقسیم دو عدد توان‌دار با نماهای مساوی

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!