تساوی کمان‌ها و وترهای متناظر: دو یار جدانشدنی دایره
دایره و اجزای اصلی آن
قبل از پرداختن به اصل تساوی، باید با بازیگران اصلی این داستان آشنا شویم. یک دایره تنها یک خط منحنی ساده نیست، بلکه مجموعه‌ای از نقاط است که فاصله‌ی یکسانی از یک نقطه‌ی ثابت به نام مرکز۵ دارند.
| نام جزء | تعریف | مثال در زندگی |
|---|---|---|
| کمان (Arc) | بخشی از محیط دایره | قسمتی از لبه‌ی یک پیتزا که بریده شده است |
| وتر (Chord) | پاره‌خطی که دو نقطه از دایره را به هم وصل می‌کند | ضلع مستقیم یک تکه پیتزا |
| زاویه‌ی مرکزی (Central Angle) | زاویه‌ای که رأس آن در مرکز دایره است و ضلع‌هایش شعاع هستند | زاویه‌ی بین دو خط برش پیتزا از مرکز آن |
رابطه‌ی کمان و وتر مقابل آن
حالا به اصل ماجرا می‌رسیم. فرض کنید یک دایره داریم و روی آن دو کمان مختلف رسم کرده‌ایم. اگر این دو کمان دقیقاً هم‌اندازه باشند، چه اتفاقی برای وترهای مقابل آن‌ها می‌افتد؟ قضیه می‌گوید: اگر دو کمان در یک دایره یا در دو دایره‌ی برابر، با هم مساوی باشند، آنگاه وترهای روبروی آن‌ها نیز با هم مساوی هستند.
برای درک بهتر، یک چرخ‌وفلک را تصور کنید. اگر دو کابین دقیقاً در فاصله‌ی زاویه‌ای یکسانی از هم قرار داشته باشند (یعنی کمان بین آن‌ها مساوی باشد)، فاصله‌ی مستقیم (وتر) بین آن دو کابین نیز با فاصله‌ی مستقیم بین هر جفت کابین دیگر که همین فاصله‌ی زاویه‌ای را دارند، برابر خواهد بود.
نقش کلیدی زاویه‌ی مرکزی
دلیل این تساوی چیست؟ پاسخ در زاویه‌ی مرکزی نهفته است. اندازه‌ی هر کمان به طور مستقیم به اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبروی آن بستگی دارد. اگر دو کمان مساوی باشند، زاویه‌های مرکزی مقابل آن‌ها نیز مساوی هستند. حالا، اگر در دو مثلث که از دو شعاع و یک وتر تشکیل شده‌اند، دو ضلع (شعاع‌ها) و زاویه‌ی بین آن‌ها (زاویه مرکزی) مساوی باشند، آنگاه این دو مثلث با هم هم‌نهشت۶ هستند. در نتیجه، ضلع سوم آن‌ها که همان وتر است، نیز با هم مساوی خواهد بود.
| اگر اینها مساوی باشند... | ...آنگاه اینها نیز مساوی می‌شوند | دلیل |
|---|---|---|
| دو کمان | دو زاویه‌ی مرکزی متناظر | تعریف مستقیم |
| دو زاویه‌ی مرکزی و دو جفت شعاع | دو وتر متناظر | قضیه‌ی همنهشتی زاویه-ضلع-زاویه (ASA) |
کاربرد در دنیای اطراف ما
این اصل فقط یک مفهوم تئوری نیست. مهندسان و طراحان از آن در ساخت وسایل مختلف استفاده می‌کنند. برای مثال، در ساخت چرخ‌های دنده، برای اینکه نیرو به طور یکنواخت منتقل شود، دندانه‌ها باید به طور منظم و با فاصله‌های یکسان روی چرخ قرار گیرند. تساوی کمان‌ها بین مرکز دندانه‌ها، باعث می‌شود وترهای بین آن‌ها (یعنی فاصله‌ی خطی دندانه‌ها) نیز برابر شود و چرخش نرم‌تری داشته باشیم. یا در ساخت یک میز گرد، برای اینکه پایه‌ها به طور متقارن و مستحکم قرار گیرند، می‌توان از این اصل برای تعیین فاصله‌های دقیق استفاده کرد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: بله، اما با یک شرط مهم. این موضوع فقط زمانی به طور قطع درست است که هر دو وتر به یک دایره تعلق داشته باشند یا به دو دایره‌ی هم‌اندازه تعلق داشته باشند. اگر دایره‌ها اندازه‌های متفاوتی داشته باشند، وترهای مساوی لزوماً به کمان‌های مساوی منجر نمی‌شوند.
پاسخ: بزرگ‌ترین وتر در هر دایره، قطر۷ آن است. کمان مقابل قطر، دقیقاً نصف محیط دایره یا یک نیم‌دایره است که اندازه‌ی آن $180^\circ$ می‌باشد.
پاسخ: یک اشتباه رایج این است که فرض می‌کنند هر دو وتر با طول مساوی، در هر جای دایره که رسم شوند، فاصله‌ی یکسانی از مرکز دارند. در حالی که این موضوع فقط برای وترهای مساوی که در کمان‌های مساوی قرار دارند صادق است. دو وتر با طول یکسان می‌توانند در فواصل مختلفی از مرکز دایره قرار بگیرند.
پاورقی
۱ Equality of Corresponding Arcs and Chords
۲ Arc: بخشی از محیط دایره.
۳ Chord: پاره‌خطی که دو نقطه روی دایره را به هم وصل می‌کند.
۴ Central Angle: زاویه‌ای که رأس آن در مرکز دایره است.
۵ Center
۶ Congruent: دو شکلی که اندازه و شکل کاملاً یکسانی دارند.
۷ Diameter: بزرگ‌ترین وتر در دایره که از مرکز آن می‌گذرد.
