نمودار درختی: نقشه‌ای برای کشف همهٔ راه‌های ممکن
نمودار درختی چیست و چگونه رسم می‌شود؟
یک نمودار درختی شبیه به یک درخت وارونه است که از یک ریشه شروع می‌شود و به شاخه‌های مختلفی تقسیم می‌گردد. هر شاخه نشان‌دهندهٔ یک انتخاب یا یک اتفاق ممکن است. هدف اصلی این نمودار، کمک به ما برای دیدن تمام مسیرهای ممکن از ابتدا تا انتها است، بدون اینکه چیزی را فراموش کنیم.
برای رسم یک نمودار درختی، این مراحل ساده را دنبال می‌کنیم:
| گام | شرح | مثال: انتخاب یک میان‌وعده |
|---|---|---|
| 1 | تعیین نقطه شروع (ریشه درخت) | من می‌خواهم یک میان‌وعده انتخاب کنم. |
| 2 | کشیدن شاخه‌ها برای اولین دسته از انتخاب‌ها | میان‌وعده می‌تواند "میوه" یا "بستنی" باشد. |
| 3 | کشیدن شاخه‌های جدید از انتهای هر شاخه قبلی برای انتخاب‌های بعدی | اگر میوه انتخاب کنم، می‌توانم "سیب" یا "موز" بخورم. اگر بستنی انتخاب کنم، می‌توانم "وانیلی" یا "شکلاتی" بخورم. |
| 4 | فهرست کردن تمام مسیرهای از ریشه تا انتها | حالت‌های ممکن نهایی: سیب، موز، وانیلی، شکلاتی |
اصول شمارش با کمک نمودار درختی
یکی از مهم‌ترین کاربردهای نمودار درختی، شمردن تمام نتایج ممکن بدون اشتباه است. یک اصل ساده در اینجا به ما کمک می‌کند: اصل ضرب4.
به زبان ریاضی: اگر مرحله اول $ a $ انتخاب و مرحله دوم $ b $ انتخاب داشته باشد، تعداد کل حالت‌ها $ a \times b $ است.
مثال: فرض کنید برای یک مهمانی می‌خواهید یک نوشیدنی و یک کیک انتخاب کنید. نوشیدنی‌ها شامل 2 گزینه (آبمیوه، شیر) و کیک‌ها شامل 3 گزینه (شکلاتی، وانیلی، میوه‌ای) هستند. نمودار درختی این انتخاب را به‌صورت زیر نشان می‌دهد:
با شمردن مسیرهای انتهای درخت، می‌بینیم 6 حالت ممکن وجود دارد. اصل ضرب نیز همین را تأیید می‌کند: $ 2 \times 3 = 6 $.
کاربرد نمودار درختی در بازی‌ها و تصمیم‌گیری‌ها
نمودار درختی فقط برای مسائل ریاضی نیست؛ در زندگی واقعی هم بسیار کاربرد دارد. هنگام بازی، وقتی می‌خواهید حرکت بعدی خود را برنامه‌ریزی کنید، می‌توانید از یک نمودار درختی ساده استفاده کنید.
مثال: در بازی «سنگ، کاغذ، قیچی» دو بازیکن داریم. اگر فقط به حرکت اول بازیکن A فکر کنیم، نمودار درختی تمام نتایج ممکن را نشان می‌دهد. اگر بازیکن A "سنگ" را انتخاب کند، بازیکن B می‌تواند "سنگ"، "کاغذ" یا "قیچی" را انتخاب کند. با رسم شاخه‌ها برای هر سه انتخاب اولیه A، و سپس برای هر کدام، سه انتخاب برای B، در کل $ 3 \times 3 = 9 $ حالت ممکن به دست می‌آید. این نمودار به وضوح نشان می‌دهد که در چند حالت برنده، بازنده یا مساوی می‌شویم.
حتی برای تصمیم‌گیری‌های ساده‌تر، مثلاً انتخاب مسیر برای رفتن به مدرسه. ممکن است دو راه اصلی وجود داشته باشد: "خیابان اصلی" و "کوچه‌پس‌کوچه". و برای هر کدام، دو وسیله نقلیه: "پیاده" یا "دوچرخه". نمودار درختی به ما 4 گزینه مختلف برای ترکیب مسیر و وسیله نشان می‌دهد و به ما کمک می‌کند بهترین را بر اساس زمان یا حال و هوای آن روز انتخاب کنیم.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
بله، مهم است. شما باید مراحل را به ترتیب منطقی و پشت‌سرهم رسم کنید. مثلاً اول نوع غذا را انتخاب می‌کنیم، سپس نوشیدنی را. اگر این ترتیب را برعکس کنیم، ممکن است نتایج را اشتباه بشماریم یا نمودار گیج‌کننده شود.
نمودار درختی برای پیشامدهای مستقل و پشت‌سرهم طراحی شده است. اگر شاخه‌ها به هم وصل شوند یا انتخاب بعدی به انتخاب قبلی وابسته باشد (مثلاً اگر بعد از انتخاب یک کیک، فقط نوشیدنی‌های خاصی قابل انتخاب باشند)، باید در رسم نمودار دقت کنیم و فقط شاخه‌های ممکن را بکشیم. در این موارد، اصل ضرب ساده جواب نمی‌دهد و باید حتماً از خود نمودار برای شمردن استفاده کنیم.
پس از رسم نمودار و پیدا کردن همه حالت‌های ممکن (مثلاً N حالت)، اگر بخواهیم احتمال یک اتفاق خاص (مثلاً K حالت) را پیدا کنیم، از فرمول ساده زیر استفاده می‌کنیم:
$ P = \frac{K}{N} $
مثلاً در پرتاب دو سکه، احتمال آمدن حداقل یک شیر از 4 حالت کلی، 3 حالت است. پس احتمال آن $ \frac{3}{4} $ می‌شود.
پاورقی
1پیشامد (Event): به نتیجه یا برآیند یک آزمایش یا یک موقعیت گفته می‌شود.
2شمارش (Counting): فرآیند پیدا کردن تعداد کل حالت‌های ممکن.
3احتمال (Probability): شانس وقوع یک پیشامد خاص که به صورت کسری بین صفر و یک بیان می‌شود.
4اصل ضرب (Multiplication Principle): یک قانون اساسی در شمارش برای پیدا کردن تعداد کل حالت‌ها وقتی کار به چند مرحله تقسیم می‌شود.
