جذر حاصل‌ضرب و حاصل تقسیم: دو قانون طلایی
ریشه دوم چیست؟ یک مرور کوتاه
ریشه دوم یک عدد، مانند $\sqrt{16}$، عددی است که وقتی در خودش ضرب شود، عدد اولیه را به دست می‌دهد. برای مثال، ریشه دوم 16 برابر با 4 است زیرا $4 \times 4 = 16$. نماد ریشه دوم $\sqrt{}$ است.
قانون اول: ریشه دوم حاصل‌ضرب
این قانون می‌گوید: ریشه دوم حاصل‌ضرب دو عدد، برابر است با حاصل‌ضرب ریشه دوم آن دو عدد. به زبان ریاضی:
برای درک بهتر، فرض کنید یک باغچه مستطیلی دارید که طول آن 9 متر و عرض آن 4 متر است. مساحت این باغچه می‌شود 36 = 4 × 9 متر مربع. حال اگر بخواهید بدانید اندازه ضلع یک باغچه مربعی که مساحتش برابر با این باغچه مستطیلی است چقدر می‌شود، باید ریشه دوم 36 را حساب کنید.
به جای محاسبه مستقیم $\sqrt{36}$، از قانون بالا استفاده می‌کنیم:
$\sqrt{9 \times 4} = \sqrt{9} \times \sqrt{4} = 3 \times 2 = 6$
پس اندازه ضلع باغچه مربعی 6 متر است. همانطور که دیدید، محاسبه بسیار ساده‌تر شد زیرا اعداد 9 و 4 هر دو ریشه دوم ساده‌ای دارند.
قانون دوم: ریشه دوم حاصل تقسیم
این قانون می‌گوید: ریشه دوم حاصل تقسیم دو عدد، برابر است با حاصل تقسیم ریشه دوم آن دو عدد. به زبان ریاضی:
یک مثال از زندگی: تصور کنید یک پیتزا دارید که مساحت آن 64 سانتی‌متر مربع است. شما این پیتزا را به طور مساوی بین 4 نفر تقسیم می‌کنید. مساحت تکه پیتزای هر نفر می‌شود 16 = 4 ÷ 64 سانتی‌متر مربع. حال اگر تکه پیتزای هر نفر مربعی شکل بود، اندازه ضلع آن چقدر می‌شد؟
باید ریشه دوم 16 را حساب کنیم. اما با استفاده از قانون تقسیم:
$\sqrt{\frac{64}{4}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4$
پس اندازه ضلع تکه پیتزای هر نفر 4 سانتی‌متر است.
مقایسه و خلاصه قوانین در یک نگاه
| عنوان قانون | فرمول ریاضی | مثال عددی |
|---|---|---|
| ریشه دوم حاصل‌ضرب | $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ | $\sqrt{25 \times 4} = \sqrt{25} \times \sqrt{4} = 5 \times 2 = 10$ |
| ریشه دوم حاصل تقسیم | $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ | $\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$ |
کاربرد قوانین در مسائل پیچیده‌تر
گاهی اوقات با اعدادی روبرو می‌شویم که ریشه دوم ساده‌ای ندارند، اما با استفاده از این قوانین می‌توانیم آن‌ها را ساده‌تر کنیم. فرض کنید می‌خواهیم $\sqrt{50}$ را محاسبه کنیم. عدد 50 ریشه دوم ساده‌ای ندارد، اما می‌توانیم آن را به صورت حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم که یکی از آن‌ها مربع کامل۲ باشد: 50 = 25 × 2.
حال از قانون حاصل‌ضرب استفاده می‌کنیم:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \times \sqrt{2}$
بنابراین، $\sqrt{50}$ برابر است با $5\sqrt{2}$. این شکل ساده‌شده در بسیاری از محاسبات ریاضی مفید است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱ریشه دوم (Square Root): عددی که وقتی در خود ضرب شود، عدد مورد نظر را حاصل می‌کند.
۲مربع کامل (Perfect Square): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشد، مانند ۴، ۹، ۱۶، ۲۵.
۳اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه‌ای از اعداد که شامل اعداد مثبت، منفی، اعشاری و کسری می‌شود.
