پیوند کسر و احتمال

بروزرسانی شده در: 13:12 1404/07/20 مشاهده: 23 دسته بندی: کپسول آموزشی

پیوند کسر و احتمال: دنیای شانس و اعداد

کسرها چگونه به ما کمک می‌کنند شانس رخ دادن یک رویداد را بفهمیم؟

در این مقاله می‌آموزیم که چگونه از کسرها، که برای نشان دادن بخشی از یک کل استفاده می‌شوند، در محاسبه‌ی احتمال^۱ کمک بگیریم. با مثال‌هایی ساده از زندگی روزمره، مانند بازی با تاس یا انتخاب از بین مداد رنگی‌ها، خواهیم دید که احتمال چگونه به زبان ریاضی و با استفاده از کسر بیان می‌شود. این مفاهیم پایه‌ای، درک بهتری از شانس و پیش‌بینی رویدادها به ما می‌دهد.

کسر چیست و چگونه کار می‌کند؟

فرض کنید یک پیتزای کامل دارید. اگر این پیتزا را به 8 قطعه‌ی مساوی تقسیم کنید، هر قطعه یک هشتم ($\frac{1}{8}$) پیتزا است. این یک کسر است. عدد بالا (صورت^۲) نشان می‌دهد چند قسمت را در نظر گرفته‌ایم و عدد پایین (مخرج^۳) نشان می‌دهد کل پیتزا به چند قسمت مساوی تقسیم شده است.

فرمول کلی کسر:$\frac{\text{تعداد قسمت‌های انتخاب شده}}{\text{تعداد کل قسمت‌ها}}$

احتمال و ارتباط آن با کسر

احتمال به ما می‌گوید که یک چیز چقدر ممکن است رخ دهد. وقتی می‌گوییم «شانس آمدن شیر از سکه چقدر است؟»، در واقع داریم از احتمال صحبت می‌کنیم. برای محاسبه‌ی آن، از همان فرمول کسر استفاده می‌کنیم:

فرمول احتمال:$P = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های ممکن}}$

حالت مطلوب یعنی همان نتیجه‌ای که دوست داریم اتفاق بیفتد. حالت‌های ممکن، همه‌ی نتایجی هستند که می‌توانند رخ دهند.

مثال‌هایی از زندگی واقعی

تصور کنید یک کیسه حاوی 5 مهره دارید: 3 مهره قرمز و 2 مهره آبی. اگر چشم‌بسته یک مهره بیرون بیاورید، احتمال قرمز بودن آن چقدر است؟

تعداد حالت‌های مطلوب (قرمز): 3
تعداد کل حالت‌های ممکن (همه مهره‌ها): 5
احتمال: $\frac{3}{5}$

یا وقتی یک تاس معمولی می‌اندازید، احتمال آمدن عدد 4 چقدر است؟ فقط یک حالت مطلوب (عدد 4) و شش حالت ممکن (اعداد 1 تا 6) وجود دارد. پس احتمال $\frac{1}{6}$ است.

موقعیت	تعداد حالت‌های مطلوب	تعداد کل حالت‌ها	احتمال (کسر)
سکه، رو شدن شیر	1	2	$\frac{1}{2}$
دروازه‌بانی که توپ را می‌گیرد	1 (دروازه‌بان موفق)	3 (دروازه‌بان و 2 بازیکن دیگر)	$\frac{1}{3}$
کشیدن یک گل رز از گلدان	4 (تعداد گل‌های رز)	10 (کل گل‌ها)	$\frac{4}{10}$

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

آیا احتمال همیشه به صورت کسر است؟

بله، در ساده‌ترین حالت، احتمال به صورت کسری بین صفر و یک نشان داده می‌شود. اگر احتمال صفر باشد، یعنی آن اتفاق هیچ‌وقت نمی‌افتد و اگر یک باشد، حتماً اتفاق می‌افتد.

اگر همه حالت‌ها مطلوب باشند، احتمال چقدر است؟

اگر همه حالت‌ها مطلوب باشند، صورت و مخرج کسر برابر می‌شوند و کسر برابر با $\frac{1}{1} = 1$ می‌شود. یعنی آن رویداد قطعاً رخ خواهد داد.

چرا باید همه حالت‌های ممکن مساوی باشند؟

برای اینکه فرمول احتمال به درستی کار کند، باید شانس رخ دادن هر یک از حالت‌های ممکن با هم برابر باشد. مثلاً در پرتاب سکه، شانس شیر یا خط بودن باید دقیقاً برابر باشد.

جمع‌بندی: کسرها ابزار بسیار ساده و مفیدی برای فهمیدن و بیان «احتمال» هستند. هر زمان بخواهیم بدانیم شانس رخ دادن یک رویداد خاص چقدر است، کسر به کمک ما می‌آید. کافی است تعداد حالت‌های خوب (مطلوب) را بر تعداد همه حالت‌های ممکن تقسیم کنیم. این مفهوم در بسیاری از بازی‌ها و تصمیم‌گیری‌های روزمره به کار می‌آید.

پاورقی

^۱ احتمال (Probability): شانس رخ دادن یک رویداد.

^۲ صورت (Numerator): عدد بالایی در کسر که نشان‌دهنده تعداد قسمت‌های انتخاب شده است.

^۳ مخرج (Denominator): عدد پایینی در کسر که نشان‌دهنده تعداد کل قسمت‌های مساوی است.

کسر احتمال شانس حالت مطلوب ریاضی پایه

ریاضی دوم دبستان پیوند کسر و احتمال

جستجوهای پرتکرار

پیوند کسر و احتمال