مختصات نقطه: نقشهای برای پیدا کردن مکان در صفحه
سیستم مختصات چیست و چگونه به وجود آمد؟
برای اینکه بتوانیم مکان یک نقطه را روی یک صفحهٔ تخت (مثلاً یک برگه کاغذ) به طور دقیق به دیگران بگوییم، به یک سیستم یا روش نیاز داریم. این سیستم، سیستم مختصات1 نامیده میشود. معروفترین و پرکاربردترین سیستم مختصات، سیستم مختصات دکارتی2 است که توسط ریاضیدان و فیلسوف بزرگ فرانسوی، رنه دکارت3، ابداع شد. داستان معروفی وجود دارد که میگوید او ایده این سیستم را با نگاه کردن به یک مگس که روی صفحهای مربعشکل حرکت میکرد، در ذهنش پرورش داد!
این سیستم از دو خط عددی عمود بر هم تشکیل شده است. این دو خط، محورها نام دارند.
- محور افقی یا محور xها4: این محور از چپ به راست رسم میشود.
- محور عمودی یا محور yها5: این محور از پایین به بالا رسم میشود.
نقطهای که این دو محور در آن یکدیگر را قطع میکنند، نقطهٔ بسیار مهمی به نام مبدأ مختصات6 نام دارد. مبدأ، نقطهٔ صفر صفحه است و مختصات آن به صورت $(0, 0)$ نوشته میشود. این دو محور، صفحه را به چهار ناحیه تقسیم میکنند که به هر کدام یک ربع یا چهارم میگوییم.
| ربع | علامت x | علامت y | مثال |
|---|---|---|---|
| ربع اول | مثبت (+) | مثبت (+) | (3, 5) |
| ربع دوم | منفی (-) | مثبت (+) | (-2, 4) |
| ربع سوم | منفی (-) | منفی (-) | (-1, -3) |
| ربع چهارم | مثبت (+) | منفی (-) | (6, -2) |
جفت مرتب $(x, y)$ به چه معناست؟
برای مشخص کردن آدرس یک نقطه، از یک جفت مرتب7 استفاده میکنیم. این جفت مرتب همیشه به صورت $(x, y)$ نوشته میشود. عدد اول، $x$، مختص x یا فاصلهٔ افقی نقطه از مبدأ است و عدد دوم، $y$، مختص y یا فاصلهٔ عمودی نقطه از مبدأ است. کلمه «مرتب» به این خاطر است که ترتیب این اعداد بسیار مهم است. نقطه $(3, 5)$ با نقطه $(5, 3)$ کاملاً متفاوت است!
- از مبدأ $(0, 0)$ شروع کن.
- به اندازه $a$ واحد روی محور x حرکت کن (اگر $a$ مثبت است به راست، اگر منفی است به چپ).
- از آنجا، به اندازه $b$ واحد به موازات محور y حرکت کن (اگر $b$ مثبت است به بالا، اگر منفی است به پایین).
- به نقطه $A$ رسیدی!
مثال: میخواهیم نقطه $B(2, 3)$ را پیدا کنیم. از مبدأ، 2 واحد به راست (چون عدد x مثبت است) و سپس 3 واحد به بالا (چون عدد y مثبت است) حرکت میکنیم. نقطه $B$ در ربع اول قرار دارد.
کاربرد مختصات در بازیها و نقشهخوانی
شاید فکر کنید مختصات فقط یک مفهوم خشک ریاضی است، اما کاربردهای آن در زندگی روزمره بسیار زیاد است.
بازیهای ویدیویی و رایانهای: در بازیهایی مثل «ماریو» یا «ماینکرفت»، موقعیت شخصیت بازی، دشمنان، وسایل و همه چیز با استفاده از سیستم مختصات مدیریت میشود. وقتی شما کاراکتر خود را به سمت راست صفحه حرکت میدهید، در واقع در حال افزایش مختص x آن هستید. برنامهنویس بازی با استفاده از این مختصات میداند هر شیء در هر لحظه کجای صفحه قرار دارد.
نقشهخوانی و GPS: نقشههای جغرافیایی نمونهای عالی از صفحه مختصات هستند. عرض جغرافیایی8 و طول جغرافیایی9 در واقع همان مختصات y و x روی کره زمین هستند. وقتی شما آدرس یک رستوران را در گوگل مپ جستجو میکنید، اپلیکیشن با استفاده از یک جفت مرتب (مثلاً (35.6892° N, 51.3890° E) برای تهران) مکان دقیق آن را روی نقشه به شما نشان میدهد.
گرافیک کامپیوتری و طراحی: هر زمان که با یک نرمافزار نقاشی مثل Paint کار میکنید، مکان نشانگر ماوس شما توسط مختصات $(x, y)$ مشخص میشود. وقتی کلیک میکنید، آن نقطه با رنگ مورد نظر شما پر میشود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: چون هر عدد نشاندهنده حرکت در یک جهت خاص است. عدد اول برای حرکت افقی و عدد دوم برای حرکت عمودی است. اگر ترتیب را عوض کنید، به نقطه کاملاً متفاوتی خواهید رسید. نقطه $(2, 5)$ در مقایسه با نقطه $(5, 2)$ فاصله افقی کمتر ولی فاصله عمودی بیشتری دارد.
پاسخ: عدد x برابر صفر است، یعنی در راستای افقی از مبدأ حرکت نکردهایم. عدد y برابر 4 است، یعنی 4 واحد به بالا رفتهایم. بنابراین نقطه دقیقاً روی محور yها و در بالاى مبدأ قرار دارد. به طور کلی، هر نقطهای که مختص x آن صفر باشد، روی محور yها قرار دارد و هر نقطهای که مختص y آن صفر باشد، روی محور xها قرار دارد.
پاسخ: دو اشتباه رایج وجود دارد: ۱. اشتباه گرفتن ترتیب اعداد: ابتدا باید روی محور x حرکت کرد و سپس روی محور y. ۲. اشتباه در جهت حرکت: فراموش کردن اینکه اعداد مثبت به سمت راست و بالا، و اعداد منفی به سمت چپ و پایین هستند. همیشه به علامت اعداد دقت کنید!
پاورقی
1 سیستم مختصات (Coordinate System)
2 سیستم مختصات دکارتی (Cartesian Coordinate System)
3 رنه دکارت (René Descartes)
4 محور xها (x-axis)
5 محور yها (y-axis)
6 مبدأ مختصات (Origin)
7 جفت مرتب (Ordered Pair)
8 عرض جغرافیایی (Latitude)
9 طول جغرافیایی (Longitude)
