نقاط قرینه روی محور مختصات
مختصات و صفحهی دکارتی: یک نگاه اجمالی
برای درک قرینه، اول باید با صفحهی مختصات آشنا شویم. این صفحه از دو خط عمود بر هم به نامهای محور x (محور افقی) و محور y (محور عمودی) تشکیل شده است. نقطهی تقاطع این دو محور، مبدأ مختصات نام دارد و با مختصات (0, 0) نشان داده میشود. هر نقطه روی این صفحه با یک جفت مرتب (x, y) مشخص میشود که به ترتیب فاصلهی افقی و عمودی آن از مبدأ هستند.
قرینه چیست؟ درک مفهوم تقارن
قرینه یا تصویر آینهای یک نقطه، نقطهای است که در طرف دیگر یک محور یا یک خط مشخص قرار گرفته است، طوری که فاصلهی هر دو نقطه تا آن محور دقیقاً برابر باشد. مثل نگاه کردن به تصویر خودتان در آینه!
- نسبت به محور x: $A'(x, -y)$
- نسبت به محور y: $A''(-x, y)$
- نسبت به مبدأ: $A'''(-x, -y)$
یافتن قرینه نسبت به محور x
برای پیدا کردن قرینهی یک نقطه نسبت به محور x، فقط کافی است علامت مؤلفه y (مختصات عمودی) آن را تغییر دهیم. مؤلفه x بدون تغییر باقی میماند.
مثال: قرینهی نقطهی A(3, 4) نسبت به محور x چیست؟
راهحل: طبق فرمول، مختصات x ثابت میماند و علامت y عوض میشود. پس نقطهی جدید $A'(3, -4)$ خواهد بود.
یافتن قرینه نسبت به محور y
برای پیدا کردن قرینهی یک نقطه نسبت به محور y، فقط کافی است علامت مؤلفه x (مختصات افقی) آن را تغییر دهیم. مؤلفه y بدون تغییر باقی میماند.
مثال: قرینهی نقطهی B(-2, 5) نسبت به محور y چیست؟
راهحل: طبق فرمول، مختصات y ثابت میماند و علامت x عوض میشود. پس نقطهی جدید $B''(2, 5)$ خواهد بود.
یافتن قرینه نسبت به مبدأ مختصات
برای پیدا کردن قرینهی یک نقطه نسبت به مبدأ، باید علامت هر دو مؤلفه x و y را تغییر دهیم.
مثال: قرینهی نقطهی C(1, -3) نسبت به مبدأ چیست؟
راهحل: طبق فرمول، علامت هر دو مختصات عوض میشود. پس نقطهی جدید $C'''(-1, 3)$ خواهد بود.
| نقطه اصلی | محور تقارن | نقطه قرینه | تغییرات |
|---|---|---|---|
| (5, 2) | محور x | (5, -2) | علامت y تغییر کرد |
| (-3, 4) | محور y | (3, 4) | علامت x تغییر کرد |
| (1, -6) | مبدأ | (-1, 6) | علامت x و y تغییر کرد |
کاربردهای دنیای واقعی نقاط قرینه
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتابهای ریاضی کاربرد دارند، اما نمونههای زیادی از تقارن در زندگی روزمره و علوم دیگر میبینیم. طراحان و معماران برای خلق طرحهای متقارن و زیبا از این مفهوم استفاده میکنند. در گرافیک کامپیوتری و ساخت بازیهای ویدیویی، برای ایجاد انعکاسها و سایهها باید محل دقیق نقاط قرینه محاسبه شود. حتی در علم فیزیک، هنگام برخورد یک توپ به دیوار، مسیر حرکت آن را میتوان با استفاده از قرینهسازی پیشبینی کرد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: اگر نقطهای روی محور x باشد، مثلاً (5, 0)، قرینهی آن نسبت به محور x، (5, 0) است، یعنی خودش! زیرا فاصلهی آن تا محور x صفر است و قرینهی نقطهی صفر، خودش میشود.
پاسخ: بزرگترین اشتباه، فراموش کردن تغییر علامت یکی از مختصات یا تغییر علامت هر دو مختصات در زمانی است که فقط باید یکی تغییر کند. همیشه دقت کنید که نسبت به کدام محور یا مبدأ در حال قرینهگیری هستید.
پاسخ: بله، اما این موضوع معمولاً در سطوح پیشرفتهتر ریاضیات مطرح میشود. قاعدهی کلی این است که نقطهی قرینه در آن سمت نقطهی مرکز تقارن قرار میگیرد و فاصلهاش از مرکز تقارن، برابر فاصلهی نقطهی اصلی از آن مرکز است.
پاورقی
1 مختصات (Coordinates): یک جفت عدد که مکان یک نقطه را در صفحه مشخص میکند. معادل انگلیسی: Coordinates.
2 محور x (X-axis): محور افقی در صفحهی مختصات. معادل انگلیسی: X-axis.
3 محور y (Y-axis): محور عمودی در صفحهی مختصات. معادل انگلیسی: Y-axis.
4 مبدأ (Origin): نقطهی تقاطع محور x و محور y با مختصات (0,0). معادل انگلیسی: Origin.
