هماهنگ (هارمونیک): نوسان با شکل سینوسی
نوسان چیست و چرا هماهنگ میشود؟
اگر به حرکت تاب در یک زمین بازی، یا حرکت عقربهٔ ثانیهشمار ساعت نگاه کنید، یک حرکت رفت و برگشتی منظم را مشاهده میکنید. به این حرکت تکرارشونده نوسان[2] میگویند. اما نوسان هماهنگ ساده[3] یک نوع خاص و بسیار منظم از نوسان است. در این نوع نوسان، جسم نوسانکننده تحت تأثیر نیرویی قرار دارد که همیشه آن را به سمت نقطهٔ تعادل[4] میکشد و بزرگی این نیرو، دقیقاً با فاصلهٔ جسم از نقطهٔ تعادل نسبت مستقیم دارد. این قانون را قانون هوک[5] مینامند.
یک مثال کلاسیک، یک جرم متصل به یک فنر است. اگر جرم را کمی بکشیم و رها کنیم، شروع به نوسان میکند. فنر همیشه میخواهد جرم را به نقطهٔ اولیه (نقطهٔ تعادل) برگرداند. هر چه جرم بیشتر کشیده شود، نیروی بازگردانندهٔ فنر قویتر است.
در این فرمول، F نیروی بازگرداننده، k ثابت فنر (که نشاندهندهٔ سفتی فنر است) و x جابجایی از نقطهٔ تعادل است. علامت منفی نشان میدهد نیرو همیشه در خلاف جهت جابجایی عمل میکند.
از حرکت به نمودار: تولد یک موج سینوسی
حال اگر موقعیت یک جسم که نوسان هماهنگ ساده انجام میدهد (مثل جرم روی فنر) را در طول زمان ثبت کنیم و آن را روی نمودار بکشیم، یک منحنی بسیار زیبا و آشنا به دست میآید: منحنی سینوسی[6]. این دقیقاً همان شکل موجی است که در ریاضیات با تابع $\sin(\theta)$ یا $\cos(\theta)$ میشناسیم.
معادلهٔ موقعیت جسم در نوسان هماهنگ ساده به این شکل است:
در این معادله:
| نماد | نام | توضیح |
|---|---|---|
| $x(t)$ | موقعیت | مکان جسم در لحظهٔ t نسبت به نقطهٔ تعادل. |
| $A$ | دامنه[7] | بیشترین فاصلهای که جسم از نقطهٔ تعادل میگیرد. نشاندهنده «شدت» نوسان است. |
| $f$ | فرکانس[8] | تعداد نوسانهای کامل در هر ثانیه. واحد آن هرتز (Hz) است. |
| $T$ | دوره تناوب[9] | زمان لازم برای یک نوسان کامل. رابطهٔ سادهای با فرکانس دارد: $T = \frac{1}{f}$. |
| $\phi$ | فاز اولیه[10] | تعیین میکند که نوسان در لحظهٔ صفر از کجای مسیر خود شروع شده است. |
هماهنگ در زندگی: از موسیقی تا پلها
مفهوم نوسان هماهنگ و موج سینوسی تنها محدود به آزمایشگاه فیزیک نیست. این مفهوم در بسیاری از پدیدههای اطراف ما حضور دارد:
۱. صوت: وقتی با زخمهزدن به سیم یک گیتار صدا تولید میکنید، سیم به صورت هماهنگ نوسان میکند. این نوسان باعث ایجاد موج فشاری سینوسی در هوا میشود که به گوش ما میرسد. هر نت موسیقی مربوط به یک فرکانس خاص است. نت «لا»ی معیار فرکانسی برابر با 440 Hz دارد، یعنی سیم در هر ثانیه 440 بار به جلو و عقب نوسان میکند!
۲. نور: نور نیز یک موج الکترومغناطیسی است. در سادهترین شکل خود، میتوان میدانهای الکتریکی و مغناطیسی آن را به صورت موجهای سینوسی در نظر گرفت. رنگهای مختلف نور، فرکانسهای مختلفی از این نوسان هستند.
۳. آونگ ساعت: حرکت آونگ یک ساعت قدیمی، تقریب خوبی از یک نوسان هماهنگ ساده است (برای زاویههای کوچک). دورهٔ تناوب آونگ به طول آن وابسته است. این وابستگی را میتوان آزمایش کرد: آونگ بلندتر، آهستهتر نوسان میکند.
۴. مهندسی: طراحان پل و ساختمانهای بلند باید اثر نوسانات ناخواسته (مثل وزش باد یا زلزله) را که میتوانند باعث رزونانس[11] (تشدید) شوند، به دقت محاسبه کنند. رزونانس زمانی رخ میدهد که فرکانس نیروی خارجی با فرکانس طبیعی سازه یکی شود و دامنهٔ نوسان به طور خطرناکی افزایش یابد.
آزمایش ذهنی: جرم، فنر و محاسبه دوره تناوب
فرض کنید یک فنر داریم که ثابت فنر آن k = 100 N/m است. یک جرم m = 1 kg را به آن متصل میکنیم و سیستم را روی یک سطح بدون اصطکاک قرار میدهیم. اگر جرم را کمی بکشیم و رها کنیم، دوره تناوب نوسان آن چقدر خواهد بود؟ فرمول دوره تناوب برای یک جرم و فنر به این صورت است:
با جایگذاری اعداد:
این یعنی این جرم و فنر، تقریباً هر 0.63 ثانیه یک نوسان کامل انجام میدهد. اگر جرم را دو برابر کنیم (m=2 kg)، دوره تناوب به ~0.89 ثانیه افزایش مییابد (نوسان کندتر میشود). اگر فنر سفتتری (k بزرگتر) استفاده کنیم، دوره تناوب کاهش مییابد (نوسان تندتر میشود).
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر. شرط اصلی برای هماهنگ بودن، این است که نیروی بازگرداننده مستقیماً با جابجایی نسبت داشته باشد (قانون هوک). حرکت یک توپ که از ارتفاعی رها میشود و به زمین برخورد میکند، رفت و برگشتی است اما هماهنگ ساده نیست، زیرا نیروی بازگرداننده (گرانش) ثابت است و به جابجایی بستگی ندارد.
در نمودار موقعیت-زمان برای جرم و فنر، نقطهٔ تعادل را معمولاً صفر در نظر میگیریم. وقتی منحنی مثبت است، جسم در یک سمت نقطهٔ تعادل (مثلاً راست) است و وقتی منفی میشود، در سمت دیگر (مثلاً چپ) قرار دارد. اعداد منفی نشاندهندهٔ جهت مخالف هستند، نه فاصلهٔ منفی!
در دنیای ایدهآل و بدون اصطکاک، بله. اما در دنیای واقعی همیشه مقداری اتلاف انرژی (مثلاً توسط اصطکاک هوا یا گرم شدن فنر) وجود دارد. این باعث میشود دامنهٔ نوسان به تدریج کم شود تا اینکه در نهایت متوقف شود. به این حالت نوسان میرا[12] میگویند.
پاورقی
[1] Harmonic Oscillation: نوسانی که با توابع سینوسی یا کسینوس توصیف میشود.
[2] Oscillation
[3] Simple Harmonic Motion (SHM)
[4] Equilibrium Position
[5] Hooke's Law
[6] Sine Wave / Sinusoidal Wave
[7] Amplitude
[8] Frequency
[9] Period
[10] Initial Phase
[11] Resonance
[12] Damped Oscillation
