صورت کلی معادلهٔ خط: نقشهای برای دنیای خطوط
شناخت اعضای خانواده معادله خط
هر معادله خطی به فرم $ y = ax + b $، از دو بخش اصلی و دو متغیر تشکیل شده است. مانند یک دستور آشپزی که مواد اولیه و طرز تهیه را مشخص میکند، این معادله نیز نحوهٔ رسم یک خط راست را تعیین میکند.
| نماد | نام | معنی و نقش | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| $ a $ | شیب خط1 | میزان شیب یا تندی خط را نشان میدهد. مثبت بودن یعنی خط صعودی، منفی بودن یعنی خط نزولی و صفر بودن یعنی خط افقی. | در $ y = 2x + 1 $، شیب 2 است. |
| $ b $ | عرض از مبدأ2 | مقدار $ y $ در نقطهای که خط، محور $ y $ها را قطع میکند. یعنی نقطهٔ $ (0, b) $. | در $ y = 2x + 1 $، عرض از مبدأ 1 است. |
| $ x $ | متغیر مستقل | مقداری که ما آزادانه انتخاب میکنیم (مانند تعداد دفعات یا مدت زمان). | تعداد ساعات مطالعه. |
| $ y $ | متغیر وابسته | مقداری که بر اساس انتخاب $ x $ و فرمول محاسبه میشود (مانند هزینه کل یا نمره). | نمرهٔ امتحان. |
از خواندن معادله تا رسم خط: یک راهنمای گامبهگام
حالا بیایید یاد بگیریم چگونه از روی یک معادله، خط مربوط به آن را روی کاغذ شطرنجی (صفحه مختصات) بکشیم. مراحل بسیار ساده و شبیه یک بازی هستند.
گام اول: پیدا کردن نقطه شروع (عرض از مبدأ). عدد $ b $ در معادله به ما نقطهای روی محور $ y $ها میدهد. برای $ y = 2x + 1 $، نقطهٔ شروع ما $ (0, 1) $ است. این نقطه را روی نمودار علامت بزن.
گام دوم: استفاده از شیب برای پیدا کردن نقطه بعدی. شیب $ a = 2 $ است. شیب یعنی "تغییر در y" تقسیم بر "تغییر در x". عدد 2 را میتوان به صورت $ \frac{2}{1} $ نوشت. این یعنی به ازای افزایش 1 واحدی در $ x $، مقدار $ y $ به اندازه 2 واحد افزایش مییابد.
گام سوم: حرکت و نقطهگذاری. از نقطهٔ $ (0, 1) $، 1 واحد به راست (افزایش $ x $) و سپس 2 واحد به بالا (افزایش $ y $) حرکت کن. به نقطهٔ $ (1, 3) $ میرسی. این نقطه را هم علامت بزن.
گام چهارم: کشیدن خط. حالا کافی است این دو نقطه (و نقاط بیشتری که به همین روش مییابی) را با یک خط کش به هم وصل کنی. خط راست معادلهٔ $ y = 2x + 1 $ رسم شده است!
معادله خط در زندگی ما: از هزینه تا سرعت
شاید فکر کنید این فرمول فقط داخل کتاب ریاضی کاربرد دارد. اما اشتباه میکنید! معادله خط، زبان ریاضی برای توصیف بسیاری از رویدادهای اطراف ماست.
مثال ۱: حسابوکتاب تاکسی. فرض کنید سوار یک تاکسی میشوی. کرایهٔ اولیه (پایه) 5,000 تومان است و به ازای هر کیلومتر، 2,000 تومان اضافه میشود. رابطهٔ بین هزینه کل (y) و مسافت طی شده (x) دقیقاً یک معادله خط است: $ y = 2000x + 5000 $. اینجا 2,000 تومان (شیب) نرخ افزایش هزینه و 5,000 تومان (عرض از مبدأ) هزینهٔ ثابت شروع کار است.
مثال ۲: ذخیرهسازی پول. علی هر هفته 10,000 تومان در قلکش پسانداز میکند و حالا 15,000 تومان در آن دارد. کل پول بعد از $ x $ هفته برابر است با: $ y = 10000x + 15000 $.
مثال ۳: رابطهٔ دما. در یک روز سرد، اگر بدانی با افزایش هر 100 متر ارتفاع، دما 0.6 درجه سانتیگراد کاهش مییابد و در ارتفاع صفر، دما 10 درجه است، میتوانی دمای هر ارتفاعی را با یک معادله خط پیشبینی کنی.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خط نزولی میشود. یعنی با افزایش $ x $، مقدار $ y $ کاهش مییابد. مثلاً در معادلهٔ $ y = -3x + 5 $، شیب -3 است. از نقطهٔ شروع $ (0,5) $، برای یافتن نقطه بعدی، 1 واحد به راست و سپس 3 واحد به پایین حرکت میکنیم.
بله، معمولاً $ ax $ اول و سپس $ b $ نوشته میشود. اما مهم نیست اگر جابهجا باشد، مثلاً $ y = 7 + 4x $. در این حالت باید تشخیص دهیم که شیب 4 و عرض از مبدأ 7 است. اشتباه رایج: برخی ممکن است 7 را شیب در نظر بگیرند که نادرست است.
در این حالت معادله به شکل $ y = ax $ درمیآید. خط از مبدأ مختصات، یعنی نقطهٔ $ (0,0) $ میگذرد. برای مثال، رابطهٔ مستقیم بین تعداد مداد و قیمت کل (بدون هزینهٔ بستهبندی) را نشان میدهد.
پاورقی
1شیب (Slope): در ریاضیات، به میزان میل یا تندی یک خط نسبت به محور افقی گفته میشود. عددی است که نسبت تغییرات عمودی به تغییرات افقی را نشان میدهد.
2عرض از مبدأ (y-intercept): نقطهای که نمودار یک خط، محور عمودی (محور yها) را قطع میکند. مختصات x این نقطه همیشه صفر است.
