پارهخط جهتدار AB: برداری از نقطهٔ A تا B
۱. تعریف و نمایش پارهخط جهتدار
پارهخط جهتدار AB قطعهخطی است که دارای نقطهٔ شروع A (مبدأ) و نقطهٔ پایان B (پایانه) میباشد. برخلاف پارهخط ساده که فقط طول دارد، پارهخط جهتدار هم طول و هم جهت را مشخص میکند. در ریاضیات، این مفهوم با بردار $\overrightarrow{AB}$ نمایش داده میشود.
برای نمونه، فرض کنید نقطهٔ A در خانهٔ شما و نقطهٔ B مدرسه باشد. پارهخط جهتدار AB نشان میدهد که از خانه به سمت مدرسه حرکت کردهاید. اگر مسیر را برعکس (از مدرسه به خانه) در نظر بگیریم، بردار $\overrightarrow{BA}$ خواهیم داشت که جهت مخالف دارد.
۲. تفاوت پارهخط جهتدار با پارهخط معمولی
| ویژگی | پارهخط معمولی | پارهخط جهتدار (بردار) |
|---|---|---|
| طول | دارد | دارد (اندازهٔ بردار) |
| جهت | ندارد | دارد (از مبدأ به مقصد) |
| نقطهٔ شروع مشخص | خیر (دو سر یکسان) | بله (A مبدأ، B پایان) |
| نمادگذاری | AB (بدون پیکان) | $\overrightarrow{AB}$ |
۳. نمایش تحلیلی بردار AB در دستگاه مختصات
اگر نقاط A و B در صفحهٔ مختصات دکارتی با مختصات $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$ داده شده باشند، مولفههای بردار $\overrightarrow{AB}$ به صورت زیر محاسبه میشوند:
مثال عددی: فرض کنید $A(2,3)$ و $B(5,7)$. آنگاه:
این بردار یعنی برای رفتن از A به B باید ۳ واحد در جهت مثبت محور xها و ۴ واحد در جهت مثبت محور yها جابهجا شویم.
۴. اندازه و جهت بردار AB
اندازهٔ بردار $\overrightarrow{AB}$ که با $|\overrightarrow{AB}|$ نشان داده میشود، برابر با فاصلهٔ اقلیدسی2 بین دو نقطه A و B است:
برای مثال بالا: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. جهت این بردار نیز با زاویهٔ $\theta$ نسبت به محور xها مشخص میشود که از رابطهٔ $\tan \theta = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ به دست میآید.
۵. کاربرد عملی: مدلسازی جابهجایی در فیزیک
در فیزیک، جابهجایی3 یک کمیت برداری است که با پارهخط جهتدار نمایش داده میشود. فرض کنید متحرکی از نقطهٔ $A(1,1)$ به نقطهٔ $B(4,5)$ حرکت میکند. جابهجایی برابر است با بردار $\overrightarrow{AB} = (3,4)$ که اندازهٔ آن $5$ واحد و جهت آن مشخص است. توجه کنید که جابهجایی با مسافت طی شده (که یک کمیت نردهای4 است) تفاوت دارد: اگر متحرک مسیر خمیدهای را بپیماید، مسافت ممکن است بیشتر از $5$ واحد باشد، اما جابهجایی همچنان همان بردار مستقیم از A به B است.
۶. چالشهای مفهومی
سؤال ۱: آیا دو پارهخط جهتدار با طول یکسان و جهت یکسان لزوماً برابر هستند؟
پاسخ: خیر، برابری بردارها به مبدأ بستگی ندارد. اگر دو بردار دارای اندازه و جهت یکسان باشند (و در نتیجه مولفههای یکسان)، با هم برابر در نظر گرفته میشوند، حتی اگر مبدأ متفاوتی داشته باشند. به چنین بردارهایی «بردارهای آزاد» میگویند.
سؤال ۲: تفاوت بین $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{BA}$ چیست؟
پاسخ: این دو بردار هم اندازه هستند ولی جهت مخالف دارند. در واقع $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. به عبارت دیگر، مولفههای $\overrightarrow{BA}$ برابر با $(x_1-x_2,\; y_1-y_2)$ است.
سؤال ۳: آیا میتوان پارهخط جهتدار AB را به صورت یک ماتریس ستونی نمایش داد؟
پاسخ: بله، در جبر خطی مرسوم است که بردارها را به صورت ماتریس ستونی بنویسیم: $\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{bmatrix}$. این نمایش برای انجام عملیاتهایی مانند جمع بردارها و ضرب اسکالر بسیار کارآمد است.
جمعبندی
پاورقی
1 بردار (Vector): کمیتی که هم اندازه و هم جهت دارد و با یک پارهخط جهتدار نمایش داده میشود.
2 فاصلهٔ اقلیدسی (Euclidean Distance): فاصلهٔ مستقیم بین دو نقطه در صفحه یا فضا که از ریشهٔ مجموع مربع اختلاف مختصات به دست میآید.
3 جابهجایی (Displacement): تغییر مکان یک جسم از نقطهٔ شروع به نقطهٔ پایان که یک کمیت برداری است.
4 کمیت نردهای (Scalar Quantity): کمیتی که فقط اندازه دارد و جهت آن معنی ندارد (مانند جرم، دما، مسافت).
