انتقال در جهت مثبت: جابهجایی نمودارها به سمت بالا و راست
انتقال عمودی به سمت بالا (افزودن به y)
سادهترین نوع انتقال، انتقال عمودی است. اگر تابعی به شکل y = f(x) داشته باشیم، با اضافه کردن عدد ثابت c > 0 به آن، تابع جدید y = f(x) + c به دست میآید. در این حالت، c مقدار انتقال در جهت مثبت محور yها است و کل نمودار تابع اصلی به اندازه c واحد به سمت بالا جابهجا میشود.
برای درک بهتر، تابع ساده y = x^2 را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم نمودار آن را 3 واحد به سمت بالا منتقل کنیم، تابع جدید به صورت y = x^2 + 3 نوشته میشود. تمام نقاط روی سهمی اولیه، دقیقاً 3 واحد بالاتر میروند. برای مثال، نقطهٔ رأس سهمی از (0,0) به (0,3) منتقل میشود.
این نوع انتقال در زندگی روزمره نیز مصادیقی دارد. فرض کنید نمودار زیر، دمای یک شهر را در ساعات مختلف یک روز نشان میدهد. اگر به دلیل تغییر فصل، دمای هوا در تمام ساعات شبانهروز به طور میانگین 2 درجه افزایش یابد، کل نمودار دما 2 واحد در جهت محور عمودی (دماسنج) به سمت بالا جابهجا میشود.
انتقال افقی به سمت راست (تغییر در ورودی x)
انتقال افقی کمی ظریفتر است. برای جابهجایی نمودار به سمت راست، باید یک مقدار مثبت از ورودی تابع (متغیر x) کم کنیم. به بیان دیگر، تابع y = f(x - h) با h > 0، نمودار تابع y = f(x) را به اندازه h واحد به سمت راست منتقل میکند. چرا منفی؟ چون برای اینکه تابع در یک نقطه مانند x = 5، مقداری را که قبلاً در x = 3 داشته است تولید کند، باید داشته باشیم x - 2 = 3 پس x = 5.
به عنوان مثال، تابع y = \sqrt{x} را در نظر بگیرید. دامنهٔ این تابع اعداد نامنفی است و از نقطهٔ (0,0) شروع میشود. اگر بخواهیم نمودار آن را 4 واحد به سمت راست جابهجا کنیم، تابع جدید y = \sqrt{x - 4} خواهد بود. دامنهٔ تابع جدید از x \ge 4 شروع میشود و نقطهٔ شروع نمودار به (4,0) منتقل میشود.
تصور کنید مسیر حرکت یک ماشین را برحسب زمان رسم کردهایم. اگر ماشین 5 دقیقه دیرتر حرکت کند، اما مسیر را دقیقاً به همان شکل طی کند، نمودار جدید ماشین، نمودار قبلی است که 5 واحد در جهت مثبت محور زمان (به سمت راست) انتقال یافته است.
جدول مقایسه انواع انتقال در جهت مثبت
| نوع انتقال | فرمول تابع جدید | جهت جابهجایی | مثال با تابع f(x)=x^2 |
|---|---|---|---|
| عمودی به سمت بالا | y = f(x) + 3 | بالا | y = x^2 + 3 |
| افقی به سمت راست | y = f(x - 2) | راست | y = (x-2)^2 |
مثال ترکیبی: طراحی یک مسیر با دو انتقال
فرض کنید یک موشک آزمایشی به صورت سهمیوار از نقطهٔ (0,0) حرکت میکند و مسیر آن با تابع y = -\frac{1}{2}(x)^2 + 4x مدلسازی شده است. طراحان میخواهند سکوی پرتاب را 5 متر به سمت راست و دهانهٔ پرتاب را 2 متر بالاتر ببرند تا موشک از موانع عبور کند. مسیر جدید موشک چگونه خواهد بود؟
برای این کار، ابتدا باید انتقال افقی (به راست) و سپس انتقال عمودی (به بالا) را اعمال کنیم. ابتدا انتقال افقی: به جای x، مقدار (x - 5) را قرار میدهیم:
$y = -\frac{1}{2}(x-5)^2 + 4(x-5)$
سپس انتقال عمودی: به کل عبارت، عدد 2 را اضافه میکنیم:
$y = -\frac{1}{2}(x-5)^2 + 4(x-5) + 2$
این معادله، مسیر جدید موشک را نشان میدهد. اگر نقاط کلیدی مسیر قبلی را با این جابهجاییها بهروزرسانی کنیم، درخواهیم یافت که کل مسیر، شکل خود را حفظ کرده اما 5 واحد به راست و 2 واحد به بالا منتقل شده است.
کاربرد انتقال مثبت در توابع مثلثاتی
انتقال توابع مثلثاتی مانند سینوس و کسینوس، کاربرد فراوانی در توصیف پدیدههای موجی مانند صوت و نور دارد. برای مثال، تابع y = \sin(x) یک موج سینوسی استاندارد است. اگر بخواهیم نمودار این موج را \frac{\pi}{2} واحد به سمت راست منتقل کنیم، تابع جدید y = \sin(x - \frac{\pi}{2}) خواهد بود که در واقع همان نمودار y = -\cos(x) است. این انتقال در فیزیک به عنوان اختلاف فاز1 شناخته میشود.
همچنین اگر به دامنهٔ موج (مقدار y) عددی مثبت اضافه کنیم، به عنوان مثال y = \sin(x) + 1، کل موج در جهت محور عمودی به سمت بالا جابهجا میشود. این پدیده در الکترونیک به عنوان اضافه شدن یک ولتاژ آفست2 به سیگنال اصلی معروف است.
چالشهای مفهومی
چالش ۱: چرا f(x+2) نمودار را به چپ میبرد نه راست؟
این یک سؤال رایج است. همانطور که گفتیم، برای انتقال به راست باید از x کم کنیم. اگر به x اضافه کنیم، برای اینکه تابع مقدار سابق را در یک نقطه تولید کند، باید x کوچکتری انتخاب کنیم، بنابراین نمودار به سمت چپ میرود. به عنوان مثال، نقطهٔ x=0 در تابع f(x+2)، مقدار f(2) را نشان میدهد که در تابع اصلی مربوط به x=2 بوده است. پس نقطهٔ x=2 به x=0 آمده، یعنی نمودار به چپ رفته است.
چالش ۲: آیا ترتیب انتقالهای عمودی و افقی مهم است؟
بله، بسیار مهم است. اگر تابعی مانند y = f(x) را داشته باشیم، y = f(x - h) + k با h, k > 0 نتیجهٔ انتقال به راست و سپس به بالاست. اما اگر ابتدا انتقال عمودی و سپس افقی را بهصورت ذهنی اعمال کنیم، ممکن است دچار اشتباه شویم. همیشه در فرمولنویسی، تغییرات روی x در اولویت است.
چالش ۳: انتقال توابع و تأثیر آن بر دامنه و برد چیست؟
انتقال افقی (f(x-h)) دامنهٔ تابع را تغییر میدهد. اگر دامنهٔ تابع اصلی D باشد، دامنهٔ تابع جدید \{x | x-h \in D\} است. اما انتقال عمودی (f(x)+k) برد تابع را تغییر میدهد. اگر برد تابع اصلی R باشد، برد تابع جدید \{y | y-k \in R\} خواهد بود.
پاورقی
1اختلاف فاز (Phase Difference): میزان جابهجایی یک موج بر حسب درجه یا رادیان نسبت به یک موج مرجع. در توابع، این همان انتقال افقی است.
2ولتاژ آفست (Offset Voltage): در الکترونیک، به ولتاژ ثابتی گفته میشود که به یک سیگنال متغیر اضافه میشود و باعث بالا رفتن سطح مبنا (انتقال عمودی) آن میگردد.
