دامنه تابع: شناسنامه ورودیهای یک رابطه
از رابطه تا تابع: داستان زوجهای مرتب
در ریاضیات، برای نشان دادن ارتباط بین دو کمیت از مفهوم زوج مرتب[1] استفاده میکنیم. یک زوج مرتب مانند (x, y) از دو مؤلفه تشکیل شده است: مؤلفهٔ اول (x) و مؤلفهٔ دوم (y). به مجموعهای از این زوجهای مرتب، یک رابطه[2] میگوییم. حالا اگر این رابطه خاصیت منحصربهفرد بودن را داشته باشد (یعنی هیچ دو زوج مرتب متفاوتی، مؤلفهٔ اول یکسان نداشته باشند)، به آن تابع[3] میگوییم.
برای درک بهتر، فرض کنید رابطهای به صورت مجموعهای از زوجهای زیر باشد: R = {(1, a), (2, b), (3, c)}. در این رابطه، مؤلفههای اول اعداد 1, 2, 3 هستند. بنابراین، مجموعه مؤلفههای اول یعنی {1, 2, 3}، همان دامنه این رابطه است. از آنجا که هر مؤلفهٔ اول تنها یک بار تکرار شده، این رابطه یک تابع نیز هست.
دامنه در توابع با ضابطه: از فرمول تا مجموعه
توابع معمولاً با یک ضابطه (فرمول) مانند f(x) = x² معرفی میشوند. در این حالت، دامنه مجموعه تمام مقادیری است که میتوانیم به عنوان x در فرمول قرار دهیم و عملیات ریاضی به درستی انجام شود. برای یافتن این مجموعه، باید به «محدودیتهای ریاضی» توجه کنیم.
| نوع تابع / محدودیت | شرط تعریف | مثال ضابطه | دامنه (مجموعه مؤلفههای اول) |
|---|---|---|---|
| گویا (کسری) | مخرج ≠ 0 | f(x) = 1/(x-2) | {x | x ≠ 2, x ∈ ℝ} |
| رادیکالی (با فرجه زوج) | زیر رادیکال ≥ 0 | f(x) = √(x+3) | {x | x ≥ -3, x ∈ ℝ} |
| لگاریتمی | مثبت بودن ورودی | f(x) = ln(5-2x) | {x | x |
| مثلثاتی (تانژانت) | x ≠ π/2 + kπ | f(x) = tan(x) | ℝ - {π/2 + kπ, k∈ℤ} |
کاربرد عملی: دامنه در مسائل روزمره و علوم
فرض کنید تابع h(t) = -5t² + 20t ارتفاع یک توپ را پس از t ثانیه نشان میدهد. دامنهٔ این تابع در مدلسازی دنیای واقعی، مجموعه تمام زمانهایی است که توپ در هواست (h(t) ≥ 0). اگر معادله -5t² + 20t = 0 را حل کنیم، ریشههای t=0 و t=4 به دست میآید. بنابراین دامنه در این مسئله بازهٔ [0, 4] است. این یعنی مؤلفههای اول (زمانها) فقط میتوانند بین صفر تا چهار ثانیه باشند. این مثال ساده نشان میدهد چطور تعیین دامنه از روی بافت مسئله، به ما در درک محدودهٔ اعتبار تابع کمک میکند.
چالشهای مفهومی
❓ سؤال ۱: اگر یک تابع به صورت مجموعه زوجهای مرتب {(1,2), (3,4), (1,5)} داده شود، آیا این مجموعه یک تابع است؟ دامنه آن چیست؟
پاسخ: خیر، این مجموعه یک تابع نیست زیرا مؤلفهٔ اول 1 در دو زوج مرتب تکرار شده و مقادیر متفاوت 2 و 5 را دارد. با این حال، دامنه (مجموعه مؤلفههای اول) برابر {1, 3} است.
❓ سؤال ۲: چرا دامنهٔ تابع f(x) = √(x²) همه اعداد حقیقی است، در حالی که f(x) = (√x)² فقط اعداد حقیقی غیرمنفی را شامل میشود؟
پاسخ: در تابع اول، عمل رادیکال روی x² اعمال میشود که همواره مقداری نامنفی است، بنابراین x میتواند هر عددی باشد. اما در تابع دوم، ابتدا رادیکال (با فرجه زوج) روی x گرفته میشود که مستلزم نامنفی بودن x است. این تفاوت در ترتیب عملیات، دامنه را تغییر میدهد.
❓ سؤال ۳: آیا دامنه یک تابع همیشه یک بازهٔ پیوسته است؟ با مثال توضیح دهید.
پاسخ: خیر، دامنه میتواند مجموعهای از اعداد گسسته نیز باشد. برای مثال، تابع f(x) = 1/(x-1)(x-2) به ازای x=1 و x=2 تعریف نشده است، بنابراین دامنه آن همه اعداد حقیقی به جز {1, 2} است که یک مجموعهٔ ناپیوسته (گسسته) محسوب میشود.
پاورقی
[1] زوج مرتب (Ordered Pair): نمایشی از دو عنصر با ترتیب مشخص که به صورت (a, b) نوشته میشود.
[2] رابطه (Relation): زیرمجموعهای از حاصلضرب دو مجموعه که ارتباط بین عناصر را نشان میدهد.
[3] تابع (Function): رابطهای که هر عنصر از مجموعه اول (دامنه) را دقیقاً به یک عنصر از مجموعه دوم (برد) نسبت میدهد.
