الگو: ساختار منظم از اشکال یا وقایع یا اعداد که تکرارشونده یا رشدکننده است
? الگوهای دیداری؛ اولین نگاه به نظم
کوچکترین دانشآموزان هم الگو را میشناسند: کاشیهای سفید و سیاه که بهترتیب کنار هم چیده شدهاند. به این میگوییم الگوی تکراری. شکلها میتوانند در اندازه، رنگ یا جهت تکرار شوند. برای نمونه یک ترتیب ساده مثل ○ □ ○ □ را در نظر بگیرید. بخش تکرارشوندهٔ آن «○ □» است. این بخش «گوشهٔ الگو» نام دارد.
| نام الگو | گوشهٔ تکرارشونده | نمایش |
|---|---|---|
| راهراه | (پر، خالی) | ▮ ▯ ▮ ▯ ▮ |
| چهارخانه | (مربع سفید، مربع سیاه) | ⬜⬛⬜⬛ |
| صعودی-نزولی | (▲,▼) | ▲ ▼ ▲ ▼ ▲ |
? الگوهای عددی؛ از ساده تا دبیرستان
الگو فقط در شکل نیست. اعداد هم میتوانند با نظم کنار هم قرار گیرند. سادهترین الگوی عددی شمارش است: 2,4,6,8,…. هر جمله با اضافهشدن عدد ثابت 2 ساخته میشود. این الگوی خطی است. فرمول جملهٔ عمومی چنین دنبالهای $a_n = a_1 + (n-1)d$ میباشد که d همان اختلاف مشترک است.
الگوهای رشدکننده پیچیدهتر هم هستند. مثلاً دنبالهٔ اعداد مربع: 1,4,9,16,…. جملهٔ n اُم آن $n^2$ است. این دیگر رشد خطی نیست، رشد درجهدوم دارد.
? کاربرد روزمره؛ از معماری تا کامپیوتر
شاید فکر کنید الگوها فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارند، اما دور و برتان پر از الگوست. کاشیکاری حمام یک الگوی تکراری است. زمانبندی قطارها که هر 15 دقیقه یک بار حرکت میکنند الگویی از رویدادهاست. حتی رمزهای عبور در کامپیوتر از الگوهای اعداد تصادفی تقلید میکنند.
? الگوهای رشدکننده و دنبالهٔ فیبوناچی
جذابترین الگوها آنهایی هستند که در هر مرحله بزرگتر میشوند. دنبالهٔ فیبوناچی[1] یک نمونهٔ معروف است: $1,1,2,3,5,8,13,…$ هر جمله از جمع دو جملهٔ قبلی به دست میآید: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$. این الگو در طبیعت فراوان دیده میشود: تعداد گلبرگهای گل آفتابگردان، آرایش فلسهای آناناس و مارپیچ صدف.
| مورد در طبیعت | نوع الگو | توضیح |
|---|---|---|
| لانه زنبور | تکرار ششضلعی | کمترین فاصلهٔ ممکن بین دیوارهها |
| برگ درخت | مارپیچ فیبوناچی | هر برگ در زاویهٔ طلایی نسبت به برگ قبلی |
| تار عنکبوت | شعاعی - مارپیچ | ترکیب الگوی خطی و دایرهای |
? اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر. ترتیب باید قاعدهٔ مشخص داشته باشد. مثلاً 3,1,4,1,5 (رقمهای عدد پی) الگو نیست چون نمیتوان جملهٔ بعد را با یک فرمول ساده پیشبینی کرد. الگو یعنی «قابلیت پیشبینی».
چون به ما نشان میدهند موجودات زنده برای کارآمدی از ریاضیات پیروی میکنند. مثلاً نسبت طلایی $≈1.618$ که از تقسیم جملههای بزرگ فیبوناچی بر جملهٔ قبلی بهدست میآید، در کارهای هنری و معماری تعادل بصری ایجاد میکند.
نه، میتوانند کاهشی هم باشند. نمونهاش 100,90,80,… که هر بار 10 واحد کم میشود. همچنین الگوهای ضربی مثل 2,4,8,16 (توانهای دو) هم رشد سریعتری دارند.
? پاورقی
[1] فیبوناچی (Fibonacci) : ریاضیدان ایتالیایی قرن سیزدهم که این دنباله را برای مدلسازی رشد خرگوشها معرفی کرد. امروزه نماد الگوهای رشد طبیعی است.
[2] الگو (Pattern) : به هر نظم قابل پیشبینی در اشکال، اعداد یا رویدادها گفته میشود.
[3] نسبت طلایی (Golden Ratio) : عددی گنگ تقریباً برابر
$1.618$
که از دیرباز در هنر و معماری نماد زیبایی بوده است.
