قانون شگفتانگیز توالیها: رابطۀ بین n و tn
گام اول: n و tn چه موجودات ریاضیای هستند؟
فرض کنید مشغول چیدن لیوانهای پلاستیکی به شکل یک مثلث هستید. ردیف اول 1 لیوان، ردیف دوم 2 لیوان و ردیف سوم 3 لیوان. اگر از شما بپرسند «تا مرحلۀ سوم مجموعاً چند لیوان چیدهای؟» شما بهسرعت پاسخ میدهید 6 لیوان. در اینجا «مرحلۀ سوم» یعنی n = 3 و «تعداد کل لیوانها» همان tn است. بهبیان ساده:
- n : شمارۀ مرحله یا گام (همیشه یک عدد صحیح و مثبت).
- tn : تعداد اجزای موجود در همان مرحلۀ nام.
دستهبندی الگوهای عددی پرکاربرد
رابطههای tn و n را میتوان در چند خانوادۀ اصلی جا داد. هر خانواده یک «قانون» مشخص دارد. بیایید با هم مشهورترینها را بررسی کنیم.
<!-- جدول شماره 1: دستهبندی روابط n و tn -->| نام الگو | قانون عمومی tn | مثال عددی (n=4) | کاربرد ساده |
|---|---|---|---|
| خطی (ثابت) | tn = a·n + b | t4 = 2×4+1 = 9 | کرایۀ تاکسی (هر کیلومتر 2000 تومان + 3000 تومان ثابت) |
| مثلثی (اعداد مثلثی) | tn = n(n+1)/2 | t4 = 4×5/2 = 10 | چیدن لیوان، پاسکال[1] |
| مربعی (اعداد مربع) | tn = n² | t4 = 16 | خانههای شطرنج 4×4 |
| توانی (دنبالۀ هندسی) | tn = a·rn-1 | t4 = 3×23 = 24 | تکثیر سلولی (هر ساعت 2 برابر) |
| فیبوناچی | tn = tn-1 + tn-2 | t4 = 3,5,8,… | تولید مثل خرگوشها |
همانطور که در جدول میبینید، هر الگو یک «دستور پخت» مخصوص دارد. مثلاً در الگوی مربعی کافی است شمارۀ مرحله را در خودش ضرب کنیم. t5 = 25 یعنی در مرحلۀ پنجم دقیقاً 25 مهره داریم.
<!-- H3 بخش سوم: کاربرد عملی و مثال عینی (همراستا با عنوان مقاله) -->کاربرد واقعی: از برج هانوی تا معماری
یکی از زیباترین نمونههای tn در مسئلۀ «برجهای هانوی» دیده میشود. در این معما، n تعداد دیسک و tn تعداد جابجاییهای لازم است. قانون آن بهصورت شگفتانگیزی یک رابطۀ نمایی است: $t_n = 2^n - 1$.
در طبیعت نیز قاعدههای tn را میبینیم. مثلاً تعداد گلبرگهای بسیاری از گلها یکی از اعداد دنبالۀ فیبوناچی است؛ یعنی t5 = 5 یا t6 = 8. معماران ایرانی در طراحی گنبدها و کاربندیها از الگوی مربعی و مثلثی بهره گرفتهاند تا تعداد کاشیهای هر ردیف را بدون شمارش دستی، با فرمول بهدست آورند.
<!-- H3 بخش چهارم: اشتباهات رایج و پرسشهای مهم -->اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
<!-- FAQ 1 -->❓ چرا گاهی tn با tn-1 اشتباه گرفته میشود؟
بسیاری از دانشآموزان در الگوهای خطی، شماره مرحله را با تعداد اجزا یکی میدانند. مثال: در الگوی tn = 3n، مرحلۀ دوم 6 جزء دارد نه 3! برای جلوگیری، همیشه n را در فرمول بگذارید و مستقیم عدد ندهید.
❓ آیا همیشه t1 = 1 است؟
خیر! مقدار t1 به نقطۀ شروع بستگی دارد. در الگوی tn = 2n + 3 مقدار t1 = 5 است. همیشه به «جملهٔ اول» دقت کنید.
❓ چطور بفهمیم یک دنباله از کدام قانون پیروی میکند؟
تفاضلهای پشتسر هم را بررسی کنید. اگر اختلاف اعضا ثابت بود → خطی. اگر اختلاف اختلافها ثابت بود → درجۀ دوم (مثلثی). اگر نسبت اعضا ثابت بود → هندسی (توانی). اگر هر جمله از مجموع دو جملۀ قبل بهدست آمد → فیبوناچی.
پاورقی
[1] مثلث پاسکال – آرایش مثلثی از ضرایب بسط دوجملهای که در آن هر عدد از مجموع دو عدد بالای خود بهدست میآید. (معادل انگلیسی: Pascal’s Triangle)
[2] دنبالۀ فیبوناچی – دنبالۀ معروف 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , ... که هر جمله (از سومی) برابر مجموع دو جملۀ قبل است. (معادل انگلیسی: Fibonacci Sequence)
[3] برج هانوی – معمایی شامل سه میله و تعدادی دیسک که باید تمام دیسکها را با رعایت قوانین جابهجا کرد. (معادل انگلیسی: Tower of Hanoi)
