متمم اجتماع دو مجموعه نسبت به مرجع (A∪B)′
۱. مبانی: مجموعه مرجع و متمم یک مجموعه
برای درک مفهوم متمم اجتماع، ابتدا باید با دو مفهوم پایهای آشنا شویم. اولین مفهوم، مجموعه مرجع2 یا جهان3 است که معمولاً آن را با نماد $U$ نشان میدهیم. مجموعه مرجع، مجموعهای است که همهٔ عناصر مورد بحث در یک مسئله خاص را در خود جای داده است. برای مثال، اگر در کلاس درس در مورد دانشآموزان صحبت میکنیم، مجموعه مرجع میتواند $U = \{ \text{همه دانشآموزان کلاس} \}$ باشد.
دومین مفهوم، متمم یک مجموعه است. متمم مجموعه $A$ (که با نماد $A'$ یا $A^c$ نشان داده میشود) مجموعهای است از تمام عناصری که در مجموعه مرجع $U$ وجود دارند ولی $A$ نیستند. به عبارت سادهتر، متمم $A$ شامل اعضایی از $U$ است که در $A$نیستند. برای درک بهتر، به این مثال توجه کنید:
فرض کنید مجموعه مرجع $U = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰\}$ و مجموعه $A = \{۲, ۴, ۶, ۸, ۱۰\}$ (اعداد زوج) باشد. در این صورت متمم $A$، یعنی $A'$، مجموعه $\{۱, ۳, ۵, ۷, ۹\}$ (اعداد فرد) خواهد بود. همانطور که میبینید، این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند و اجتماع آنها مجموعه مرجع $U$ را میسازد.
۲. اجتماع دو مجموعه و متمم آن
پس از آشنایی با مفاهیم پایه، به سراغ موضوع اصلی میرویم: متمم اجتماع دو مجموعه. اگر $A$ و $B$ دو مجموعه دلخواه از مجموعه مرجع $U$ باشند، اجتماع آنها ($A \cup B$) مجموعهای است شامل تمام عناصری که حداقل در یکی از دو مجموعه $A$ یا $B$ وجود داشته باشند. حال، متمم این اجتماع ($(A \cup B)'$) مجموعهای است شامل تمام عناصری از $U$ که در $A \cup B$وجود ندارند. به عبارت دیگر، عناصری که نه در $A$ هستند و نه در $B$.
اینجاست که یکی از مهمترین قوانین نظریه مجموعهها به نام قوانین دی مورگان به کمک ما میآید. این قوانین رابطه بین متمم، اجتماع و اشتراک را به زیبایی بیان میکنند. قانون اول دی مورگان دقیقاً به موضوع ما میپردازد و میگوید:
$ (A \cup B)' = A' \cap B' $
این فرمول به ما میگوید که متمم اجتماع دو مجموعه، برابر است با اشتراک متممهای آن دو مجموعه. به زبان سادهتر، برای پیدا کردن عناصری که نه در $A$ و نه در $B$ هستند، میتوانیم ابتدا متمم هر کدام را جداگانه پیدا کنیم (یعنی عناصری که در $A$ نیستند و عناصری که در $B$ نیستند) و سپس اشتراک این دو متمم را بگیریم. اشتراک یعنی عناصری که در هر دو متمم وجود دارند.
۳. اثبات قانون دی مورگان با مثال عددی
برای درک بهتر این قانون، بیایید آن را با یک مثال عددی گامبهگام بررسی کنیم.
مجموعهها را تعریف میکنیم:
مجموعه مرجع: $U = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰\}$
مجموعه $A$ (اعداد کوچکتر یا مساوی ۵): $A = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵\}$
مجموعه $B$ (اعداد زوج): $B = \{۲, ۴, ۶, ۸, ۱۰\}$
روش اول: محاسبه مستقیم $(A \cup B)'$
۱. ابتدا اجتماع $A$ و $B$ را مییابیم: $A \cup B = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۸, ۱۰\}$.
۲. سپس متمم این اجتماع را نسبت به $U$ پیدا میکنیم. عناصری از $U$ که در $A \cup B$ نیستند، عبارتند از $\{۷, ۹\}$. بنابراین $(A \cup B)' = \{۷, ۹\}$.
روش دوم: استفاده از قانون دی مورگان ($A' \cap B'$)
۱. متمم $A$ را پیدا میکنیم: $A' = U - A = \{۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰\}$.
۲. متمم $B$ را پیدا میکنیم: $B' = U - B = \{۱, ۳, ۵, ۷, ۹\}$.
۳. اشتراک دو متمم را محاسبه میکنیم: عناصری که هم در $A'$ و هم در $B'$ هستند، عبارتند از $\{۷, ۹\}$. یعنی $A' \cap B' = \{۷, ۹\}$.
همانطور که مشاهده میکنید، نتیجه هر دو روش یکسان است و قانون دی مورگان را تأیید میکند.
۴. جدول مقایسه: حالتهای مختلف عضویت
برای درک عمیقتر، بیایید وضعیت یک عضو دلخواه مانند $x$ را در حالتهای مختلف بررسی کنیم. فرض کنید $x \in U$. چهار حالت کلی برای عضویت $x$ در مجموعههای $A$ و $B$ وجود دارد:
| حالت | عضویت در $A$ | عضویت در $B$ | عضویت در $A \cup B$ | عضویت در $(A \cup B)'$ |
|---|---|---|---|---|
| ۱ | بله | بله | بله | خیر |
| ۲ | بله | خیر | بله | خیر |
| ۳ | خیر | بله | بله | خیر |
| ۴ | خیر | خیر | خیر | بله |
این جدول به وضوح نشان میدهد که یک عضو تنها زمانی در $(A \cup B)'$ قرار میگیرد که در هیچیک از دو مجموعه $A$ و $B$ عضو نباشد. این همان معنای اشتراک متممها ($A' \cap B'$) است.
۵. کاربرد عملی: حل مسئله با نمودار ون
یکی از بهترین راهها برای درک و نمایش متمم اجتماع، استفاده از نمودار ون4 است. فرض کنید در یک نظرسنجی از ۱۰۰ دانشآموز پرسیده شده است که آیا به فوتبال ($A$) یا والیبال ($B$) علاقه دارند. نتایج نشان داد ۶۰ نفر به فوتبال، ۴۰ نفر به والیبال و ۲۰ نفر به هر دو علاقه دارند.
میخواهیم بدانیم چند نفر به هیچیک از این دو ورزش علاقه ندارند؟ این تعداد در واقع همان $(A \cup B)'$ است. برای حل:
۱. تعداد افرادی که حداقل به یکی از دو ورزش علاقه دارند ($n(A \cup B)$) را محاسبه میکنیم: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = ۶۰ + ۴۰ - ۲۰ = ۸۰$.
۲. تعداد افرادی که به هیچکدام علاقه ندارند، برابر است با تعداد کل دانشآموزان منهای افرادی که حداقل به یکی علاقه دارند: $n((A \cup B)') = n(U) - n(A \cup B) = ۱۰۰ - ۸۰ = ۲۰$.
همچنین با استفاده از قانون دی مورگان میتوانیم بگوییم این ۲۰ نفر، همان افرادی هستند که در ناحیهٔ خارج از دو دایره در نمودار ون قرار میگیرند.
۶. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پاسخ: اگر $B = U$ باشد، آنگاه $A \cup B = A \cup U = U$. بنابراین $(A \cup B)' = U' = \varnothing$ (مجموعه تهی). این یعنی اگر یکی از مجموعهها همهٔ جهان را پوشش دهد، دیگر عضوی خارج از اجتماع وجود نخواهد داشت.
پاسخ: این دو با هم تفاوت اساسی دارند. $(A \cup B)'$ (متمم اجتماع) یعنی عناصری که نه در $A$ و نه در $B$ هستند. اما $A' \cup B'$ (اجتماع متممها) یعنی عناصری که یا در $A$ نیستند یا در $B$ نیستند (یعنی ممکن است در یکی نباشند ولی در دیگری باشند). در حقیقت، طبق قانون دوم دی مورگان، $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
پاسخ: در این حالت خاص، قانون دی مورگان همچنان برقرار است: $(A \cup B)' = A' \cap B'$. اما میتوانیم به این هم فکر کنیم که چون $A$ و $B$ مجزا هستند، اجتماع آنها ترکیبی سادهتر دارد، ولی تأثیری در فرمول متمم آن ندارد.
۷. پاورقیها
1قوانین دی مورگان (De Morgan's Laws): مجموعهای از دو قانون در جبر مجموعهها و منطق که رابطه بین نقیض (متمم)، عطف (اشتراک) و فصل (اجتماع) را توصیف میکنند. این قوانین به افتخار ریاضیدان بریتانیایی آگوستوس دی مورگان نامگذاری شدهاند.
2مجموعه مرجع (Universal Set): مجموعهای که همهٔ اشیاء مورد نظر در یک بحث خاص را در بر میگیرد و معمولاً با نماد $U$ نشان داده میشود.
3جهان (Universe): معادل دیگر مجموعه مرجع است.
4نمودار ون (Venn Diagram): نمایش تصویری از روابط ریاضی یا منطقی بین مجموعهها که با شکلهای همپوشان نشان داده میشود.