نامعادله دوگانه: نوشتن دو نامعادله به صورت یک عبارت زنجیره‌ای مانند -a ≤ u ≤ a

نامعادله دوگانه: از تفکیک دو عبارت تا یک عبارت زنجیره‌ای

چرا نامعادله دوگانه؟ مفهوم و ضرورت آن

در ریاضیات دبیرستان، بارها با موقعیت‌هایی مواجه می‌شویم که یک کمیت نه تنها از یک مقدار مشخص کمتر یا بیشتر است، بلکه هم‌زمان در یک بازهٔ مشخص بین دو مقدار قرار دارد. برای مثال، فرض کنید دمای یک واکنش شیمیایی باید حتماً بین 20 و 30 درجه سانتی‌گراد حفظ شود. این شرط را می‌توان به دو صورت نوشت:

• T > 20 و T (دو نامعادلهٔ جداگانه).
• 20 (یک نامعادلهٔ دوگانه یا زنجیره‌ای).

شکل دوم، یعنی نامعادله دوگانه، فشرده‌تر و خواناتر است و نشان می‌دهد که متغیر T هم‌زمان در دو سوی یک بازه محدود شده است. این شیوهٔ نگارش به ویژه در حل مسائل قدر مطلق²، تعیین دامنهٔ توابع و بیان محدودیت‌های فیزیکی کاربرد فراوانی دارد. به عبارت دیگر، نامعادله دوگانه ابزاری است برای بیان هم‌زمان دو قید (کران پایین و کران بالا) روی یک متغیر.

از دو نامعادله تا یک عبارت زنجیره‌ای: تبدیل گام‌به‌گام

تبدیل دو نامعادله به یک عبارت زنجیره‌ای نیازمند دقت در جهت نامعادلات است. مهم‌ترین نکته این است که هر دو نامعادله باید یک متغیر مشترک داشته باشند و جهت آن‌ها به گونه‌ای باشد که یک کران پایین و یک کران بالا برای متغیر تعیین کنند. مثال عملی: فرض کنید شرایط زیر برای متغیر x داریم:
x ≥ -5 و x ≤ 3

• متغیر x در وسط دو عبارت قرار دارد.
• کران پایین -5 و کران بالا 3 است.
• هر دو نامعادله جهت یکسان (سمت چپ کوچک‌تر یا مساوی) دارند.

بنابراین می‌توانیم آن‌ها را به صورت زیر بنویسیم: این عبارت می‌گوید: x هم‌زمان بزرگ‌تر یا مساوی -5 و کوچک‌تر یا مساوی 3 است. مثال دیگر با جهت مخالف: گاهی دو نامعادله با جهت مخالف داده می‌شوند. مثلاً:
3 و x
در اینجا، 3 یعنی x از 3 بزرگتر است. برای نوشتن عبارت زنجیره‌ای، متغیر را در وسط قرار می‌دهیم و کران‌ها را به ترتیب از کوچک به بزرگ می‌چینیم:

$ 3 \lt x \lt 7 $

از عبارت زنجیره‌ای تا دو نامعادله: باز کردن گره

برعکس فرآیند قبل، ما می‌توانیم هر نامعادله دوگانه را به دو نامعادله ساده‌تر تفکیک کنیم. این کار به ویژه وقتی می‌خواهیم روی هر بخش از نامعادله عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) انجام دهیم، مفید است. قانون طلایی: در نامعادله دوگانه a ≤ u ≤ b، داریم:

• a ≤ u (کران پایین)
• u ≤ b (کران بالا)

هر عملی که روی کل عبارت زنجیره‌ای انجام می‌دهیم، باید روی هر سه بخش آن اعمال شود. مثال عددی: نامعادله -2 ≤ 3x + 1 ≤ 7 را در نظر بگیرید. برای حل این نامعادله و یافتن x، بهتر است آن را به دو بخش جداگانه نگاه کنیم، اگرچه می‌توانیم عملیات را روی کل عبارت نیز انجام دهیم. اما برای درک بهتر، ابتدا آن را می‌شکنیم:

1) $-2 \le 3x + 1$
2) $3x + 1 \le 7$

حال هر یک را جداگانه حل می‌کنیم:

برای اولی: $-2 \le 3x + 1 \implies -3 \le 3x \implies -1 \le x$
برای دومی: $3x + 1 \le 7 \implies 3x \le 6 \implies x \le 2$

و در نهایت جواب نهایی ترکیب این دو است:

$ -1 \le x \le 2 $

کاربرد عملی: نامعادلات قدر مطلق و بازه‌ها

مهم‌ترین کاربرد نامعادلات دوگانه در مبحث قدر مطلق² است. جملهٔ $|u| \le a$ (که $a \ge 0$) دقیقاً معادل نامعادله دوگانهٔ $-a \le u \le a$ است. این یک رابطهٔ پایه‌ای است که به ما اجازه می‌دهد مسائل قدر مطلق را به نامعادلات ساده‌تری تبدیل کنیم که با آن‌ها آشنا هستیم.

مثال کاربردی: فاصلهٔ یک نقطه از مبدأ مختصات بر روی محور اعداد نباید از 5 واحد بیشتر باشد. این شرط با $|x| \le 5$ نمایش داده می‌شود و طبق قانون بالا، معادل است با $-5 \le x \le 5$. یعنی تمام اعداد حقیقی بین -5 و 5 (خودشان هم شامل) جواب این نامعادله هستند.

در یک نگاه، رابطهٔ بین قدر مطلق و نامعادله دوگانه را می‌توان در جدول زیر خلاصه کرد:

عبارت قدر مطلق	نامعادله دوگانه معادل	تفسیر هندسی (روی محور اعداد)
$|x| \lt a$	$-a \lt x \lt a$	تمام نقاط داخل بازه $(-a, a)$
$|x| \le a$	$-a \le x \le a$	تمام نقاط داخل بازه بسته $[-a, a]$
$|x| \gt a$	$x \lt -a$ یا $x \gt a$	نقاط خارج از بازه $(-a, a)$

چالش‌های مفهومی و پرسش‌های رایج

❓ اگر دو نامعادله به صورت x > 5 و x داده شوند، آیا می‌توان آن‌ها را به صورت یک عبارت زنجیره‌ای نوشت؟
✅ پاسخ: خیر. این دو نامعادله یک بازهٔ خالی را توصیف می‌کنند، زیرا هیچ عدد حقیقی نمی‌تواند همزمان بزرگتر از 5 و کوچکتر از 2 باشد. در یک نامعادله دوگانه معتبر، همیشه باید کران پایین از کران بالا کوچکتر باشد.

❓ هنگام ضرب کردن یک نامعادله دوگانه در یک عدد منفی، چه تغییری در عبارت ایجاد می‌شود؟
✅ پاسخ: اگر کل عبارت $a \le u \le b$ را در عدد منفی $c$ ضرب کنیم، باید جهت هر دو نامعادله را معکوس کنیم و ترتیب کران‌ها عوض می‌شود: $c \cdot a \ge c \cdot u \ge c \cdot b$. برای بازگرداندن به شکل استاندارد (کران کوچک در چپ)، باید طرفین را جابجا نوشت: $c \cdot b \le c \cdot u \le c \cdot a$.

❓ تفاوت $a با $a \le x \le b$ چیست؟
✅ پاسخ: در حالت اول، کران‌های $a$ و $b$ جزو مجموعه جواب نیستند (بازه باز). در حالت دوم، کران‌ها نیز در جواب قرار می‌گیرند (بازه بسته). این تفاوت در مسائل مربوط به پیوستگی و دامنه توابع بسیار مهم است.

نامعادله دوگانه یک قرارداد نوشتاری ساده اما قدرتمند است که با فشرده‌سازی دو شرط در یک عبارت، فهم و حل مسائل ریاضی به ویژه در موضوعاتی مانند قدر مطلق و تعیین بازه‌ها را تسهیل می‌کند. با تمرین تبدیل دو نامعادله به عبارت زنجیره‌ای و بالعکس، و با رعایت نکات مربوط به عملیات جبری روی این عبارات، می‌توانید به تسلط خوبی در این مبحث دست یابید. این ابزار، پلی است بین جبر و هندسه، که به ما امکان می‌دهد محدودیت‌های یک متغیر را به صورت دقیق و زیبا بیان کنیم.

پاورقی‌ها

¹نامعادله دوگانه (Compound Inequality): به عبارتی گفته می‌شود که در آن دو نامعادله با عملگرهای «و» (و) یا «یا» (یا) به هم متصل شده‌اند. شکل -a ≤ u ≤ a نمونه‌ای از نامعادله دوگانه از نوع «و» است.
²قدر مطلق (Absolute Value): فاصلهٔ یک عدد حقیقی از صفر را روی محور اعداد نشان می‌دهد و همیشه مقداری نامنفی است. رابطۀ $|u| \le a \iff -a \le u \le a$ یکی از خواص بنیادی قدر مطلق است.