نامعادله قدر مطلقی: از تعریف تا کاربرد در مسائل نامعادلههای حاوی عبارت |u|
تعریف قدر مطلق و مفهوم هندسی آن
قدر مطلق یک عدد حقیقی u که با نماد |u| نمایش داده میشود، فاصلهی آن عدد تا نقطهی صفر روی محور اعداد است. از آنجا که فاصله همواره نامنفی است، قدر مطلق نیز همیشه بزرگتر یا مساوی صفر خواهد بود. به عبارت دقیقتر:
از دیدگاه هندسی، |u| نشاندهندهی فاصلهی نقطهی u از مبدأ مختصات است. به همین ترتیب، |u - v| فاصلهی دو نقطهی u و v را روی محور نشان میدهد. این تفسیر هندسی کلید درک بسیاری از نامعادلههای قدرمطلقی است.
حالتهای پایهای: $|u| < a$ و $|u| > a$
مهمترین حالت در حل نامعادلات قدرمطلقی، مقایسهی قدر مطلق با یک عدد ثابت a است. در اینجا a یک عدد حقیقی و معمولاً مثبت است. دو حالت کلی را در نظر میگیریم:
- حالت اول:$|u| < a$ (قدر مطلق کوچکتر از یک عدد). این نامعادله معادل است با $-a < u < a$.
- حالت دوم:$|u| > a$ (قدر مطلق بزرگتر از یک عدد). این نامعادله معادل است با $u < -a$ یا $u > a$.
برای درک بهتر این تبدیلها، کافیست به محور اعداد و مفهوم فاصله توجه کنیم. برای مثال، $|u| < 3$ یعنی فاصلهی u از صفر کمتر از 3 واحد است، بنابراین u بین -3 و 3 قرار میگیرد.
| فرم قدرمطلقی | شرط معادل (بدون قدر مطلق) | نمونه مثال |
|---|---|---|
| $|x| \lt 5$ | $-5 \lt x \lt 5$ | بازهی $(-5,5)$ |
| $|x| \ge 4$ | $x \le -4$ یا $x \ge 4$ | اتحاد $(-\infty,-4] \cup [4,\infty)$ |
روش حل نامعادلات با عبارتهای خطی درون قدر مطلق
وقتی عبارت درون قدر مطلق خطی باشد، مانند $|ax + b|$، میتوانیم از همان قواعد پایه استفاده کنیم. کافیست $u = ax + b$ در نظر گرفته و سپس نامعادلهی حاصل را برای $x$ حل کنیم.
مثال: نامعادلهی $|2x - 1| \le 3$ را حل کنید.
حل: با توجه به حالت $|u| \le a$ داریم: $-3 \le 2x - 1 \le 3$. حالا $1$ را به همهی اضلاع میافزاییم: $-2 \le 2x \le 4$. در نهایت تقسیم بر $2$ میکنیم: $-1 \le x \le 2$. بنابراین جواب بازهی $[-1, 2]$ است.
نکتهی مهم: اگر ضریب $x$ منفی باشد، پس از سادهسازی باید جهت نامساوی را هنگام تقسیم بر عدد منفی برگردانیم.
کاربرد عملی: تعیین دامنه و تحلیل خطا در اندازهگیری
فرض کنید یک دستگاه اندازهگیری، طول یک میله را $L = 100$ سانتیمتر با خطای مجاز $0.5$ سانتیمتر گزارش میکند. این یعنی طول واقعی $x$ در شرط $|x - 100| \le 0.5$ صدق میکند. با حل این نامعادله داریم: $99.5 \le x \le 100.5$. این بازه نشاندهندهی محدودهی قابل قبول برای طول واقعی میله است. چنین کاربردهایی در علوم تجربی، مهندسی و آمار بسیار رایج است.
نامعادلات با دو قدر مطلق: روشهای حل پیشرفته
هنگامی که نامعادله شامل دو عبارت قدرمطلقی باشد، مانند $|f(x)| \lt |g(x)|$ یا $|f(x)| \gt g(x)$، باید از روشهای زیر استفاده کنیم:
- روش مربع کردن دو طرف: با توجه به اینکه $|a| \lt |b|$ معادل $a^2 \lt b^2$ است، میتوانیم با مربع کردن، از شر قدر مطلق خلاص شویم. این روش به ویژه برای عبارات چندجملهای مناسب است.
- روش سرهسازی (حالتبندی): در این روش، ریشههای عبارتهای درون قدر مطلق را یافته و محور اعداد را به بازههایی تقسیم میکنیم. در هر بازه، علامت عبارت درون قدر مطلق مشخص است و میتوانیم قدر مطلق را باز کنیم.
مثال از روش حالتبندی: نامعادلهی $|x+1| \gt |x-2|$ را حل کنید.
ریشههای عبارتها $x=-1$ و $x=2$ هستند. محور اعداد به سه بازه تقسیم میشود:
- بازهی اول: $x \lt -1$، در این بازه $x+1 \lt 0$ و $x-2 \lt 0$، پس $|x+1| = -(x+1)$ و $|x-2| = -(x-2)$. نامعادله میشود $-(x+1) \gt -(x-2) \Rightarrow -x-1 \gt -x+2 \Rightarrow -1 \gt 2$ که نادرست است. پس در این بازه جوابی نداریم.
- بازهی دوم: $-1 \le x \lt 2$، در این بازه $x+1 \ge 0$ و $x-2 \lt 0$، پس $|x+1| = x+1$ و $|x-2| = -(x-2)$. نامعادله میشود $x+1 \gt -(x-2) \Rightarrow x+1 \gt -x+2 \Rightarrow 2x \gt 1 \Rightarrow x \gt 0.5$. با توجه به شرط بازه، جواب این بخش $(0.5, 2)$ است.
- بازهی سوم: $x \ge 2$، در این بازه هر دو عبارت غیرمنفی هستند، پس $|x+1| = x+1$ و $|x-2| = x-2$. نامعادله میشود $x+1 \gt x-2 \Rightarrow 1 \gt -2$ که همواره درست است. بنابراین کل این بازه، یعنی $[2, \infty)$، جواب است.
جواب نهایی: $(0.5, \infty)$.
نکتهی طلایی: هنگام استفاده از روش مربع کردن، باید دقت کنید که دو طرف نامعادله نامنفی باشند (که در مورد قدر مطلق این شرط برقرار است). اما مربع کردن ممکن است جوابهای اضافی ایجاد نکند، ولی در نامعادلات با علامت بزرگتر یا کوچکتر، جهت نامساوی پس از مربع کردن حفظ میشود زیرا تابع $f(t)=t^2$ برای $t \ge 0$ صعودی است.
چالشهای مفهومی
پاسخ: اگر طرف دیگر عدد منفی باشد، مانند $|x| \lt -2$، این نامعادله هرگز جواب ندارد (چون قدر مطلق همواره نامنفی است و نمیتواند از عدد منفی کوچکتر باشد). نیازی به مربع کردن نیست. اما اگر نامعادله به صورت $|x| \gt -2$ باشد، این نامعادله برای همهی $x$ها برقرار است (چون قدر مطلق همیشه از هر عدد منفی بزرگتر است). بنابراین قبل از هر اقدامی، علامت طرف مقابل را بررسی کنید.
پاسخ: اگر $a$ منفی باشد، نابرابری $|f(x)| \lt a$ به دلیل نامنفی بودن قدر مطلق، هرگز برقرار نمیشود. اگر $a=0$ باشد، تنها جواب $f(x)=0$ است. به همین دلیل در فرمولبندی استاندارد، معمولاً $a \gt 0$ در نظر گرفته میشود.
پاسخ: بله، روش سرهسازی (حالتبندی) برای هر تعداد عبارت قدرمطلقی قابل تعمیم است. با تعیین ریشهی همهی عبارتهای درون قدر مطلق، محور اعداد به چند بازه تقسیم میشود. در هر بازه، علامت تمام عبارتها ثابت است و میتوان قدر مطلقها را باز کرد. این روش سیستماتیک و قابل اطمینان است، هرچند با افزایش تعداد قدر مطلقها، تعداد حالتها زیاد میشود.
پاورقی
1قدر مطلق (Absolute Value): اندازهی یک عدد حقیقی بدون در نظر گرفتن علامت آن. برای عدد $x$، قدر مطلق به صورت فاصلهی آن تا مبدأ تعریف میشود.
2نامعادله (Inequality): یک عبارت ریاضی که نشاندهندهی رابطهی نامساوی بین دو عبارت است. نمادهای معمول آن $\lt, \le, \gt, \ge$ هستند.
3روش سرهسازی یا حالتبندی (Critical Point Method): روشی برای حل معادلات و نامعادلات قدرمطلقی که در آن با یافتن نقاط بحرانی (ریشههای عبارتهای درون قدر مطلق)، دامنه به بازههایی تقسیم شده و در هر بازه با حذف قدر مطلق، مسأله حل میشود.
