خاصیت ضرب نامساویها در عدد مثبت
۱. مفهوم اصلی: چرا ضرب در عدد مثبت نامساوی را حفظ میکند؟
فرض کنید دو عدد A و B داریم که A > B است. این یعنی تفاوت A - B یک عدد مثبت است. حال اگر هر دو طرف نامساوی را در یک عدد مثبت مانند C ضرب کنیم، داریم:
$(A - B) \times C \gt 0 \quad (\text{چون } C \gt 0)$
$AC - BC \gt 0 \implies AC \gt BC$
این اثبات ساده نشان میدهد که اگر C مثبت باشد، علامت تفاوت (A-B) پس از ضرب نیز مثبت باقی میماند. برای درک شهودی، فرض کنید A=5 و B=3 است. واضح است که 5 > 3. حال اگر هر دو را در C=2 ضرب کنیم، داریم 10 و 6 که باز هم 10 > 6 است.
۲. مقایسه با ضرب در عدد منفی و صفر
برای درک عمیقتر این خاصیت، باید آن را با دو حالت دیگر مقایسه کنیم: ضرب در عدد منفی و ضرب در صفر. جدول زیر این مقایسه را بهصورت شفاف نشان میدهد.
| شرط C | تأثیر بر نامساوی A > B | مثال عددی (A=4, B=2) |
|---|---|---|
| C > 0 (مثبت) | حفظ جهت (AC > BC) | 4×3 = 12 و 2×3 = 6 ; 12 > 6 |
| C (منفی) | معکوس جهت (AC ) | 4×(-2) = -8 و 2×(-2) = -4 ; -8 |
| C = 0 | تبدیل به برابری (0 = 0) | 4×0 = 0 و 2×0 = 0 ; 0 = 0 |
همانطور که مشاهده میکنید، تنها زمانی که در عدد مثبت ضرب میکنیم، رابطه > به قوت خود باقی میماند. این ویژگی بنیادی، پایه و اساس حل نامعادلات است.
۳. کاربرد عملی: حل نامعادلات و مسائل روزمره
فرض کنید میخواهید برای یک مهمانی 20 نفره نوشابه بخرید. هر بطری 1.5 لیتر است و قیمت هر بطری C تومان. بودجه شما 150,000 تومان است. اگر بخواهید بدانید حداکثر قیمتی که میتوانید برای هر بطری بپردازید، از نامساوی زیر استفاده میکنیم:
برای حل این نامعادله، دو طرف را در عدد مثبت $\frac{1}{20}$ ضرب میکنیم (یا بر 20 تقسیم میکنیم که همان ضرب در $\frac{1}{20}$ است). از آنجایی که $\frac{1}{20} > 0$ است، جهت نامساوی حفظ میشود:
$C \le \frac{150,000}{20} = 7,500$
بنابراین، قیمت هر بطری نباید از 7,500 تومان بیشتر باشد. در این مسئله، ما از خاصیت ضرب در عدد مثبت برای سادهسازی و حل نامعادله استفاده کردیم.
۴. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
✅ پاسخ: خیر، مستقیماً نمیتوانیم نتیجه گرفتیم. خاصیت ضرب میگوید $x > y$ را میتوانیم در یک عدد مثبت ضرب کنیم. برای مقایسه $ax$ و $by$، ابتدا باید رابطهای بین $a$ و $b$ داشته باشیم. مثلاً اگر $a \ge b$ باشد، آنگاه $ax \ge bx$ و از آنجا که $x > y$ است، $bx > by$ و در نتیجه $ax > by$. اما بدون فرض اضافی، این نتیجهگیری نادرست است.
✅ پاسخ: نامساویها معمولاً روی اعداد حقیقی تعریف میشوند، زیرا اعداد مختلط ترتیبپذیر نیستند3. یعنی نمیتوان گفت یک عدد مختلط از دیگری بزرگتر است. بنابراین، مفهوم نامساوی و این خاصیت تنها در مجموعه اعداد حقیقی معنا پیدا میکند و شرط $C > 0$ برای اطمینان از مثبت بودن (و در نتیجه حقیقی بودن) آن است تا بتوانیم از ویژگی ضرب در نامساوی استفاده کنیم.
✅ پاسخ: بله، اما با یک شرط اضافی. $a^2 > b^2$ را میتوان حاصل ضرب دو نامساوی دانست: $a > b$ و $a > b$. برای اینکه بتوانیم این دو نامساوی را در هم ضرب کنیم، باید مطمئن شویم که همه طرفها مثبت هستند. در واقع، اگر $a > b \ge 0$ باشد، آنگاه $a^2 > b^2$ برقرار است. اما اگر $a=1$ و $b=-2$ باشد، $1 > -2$ ولی $1^2 است. این مثال نشان میدهد که شرط مثبت بودن اعداد در ضرب نامساویها چقدر حیاتی است.
پاورقیها
1نامعادله (Inequality): عبارتی ریاضی که نشاندهنده رابطه نامساوی بین دو عبارت جبری است، مانند $x > 5$ یا $2y + 3 \le 10$.
2عدد مختلط (Complex Number): عددی به شکل $a + bi$ که در آن $a$ و $b$ اعداد حقیقی و $i$ واحد موهومی ($i^2 = -1$) است.
3ترتیبپذیر نبودن اعداد مختلط (Not Ordered Field): برخلاف اعداد حقیقی، نمیتوان برای اعداد مختلط یک ترتیب خطی تعریف کرد که با عملهای جمع و ضرب سازگار باشد.
4تحدب (Convexity): ویژگی یک تابع یا مجموعه که در آن پارهخط واصل هر دو نقطه از مجموعه یا تابع، درون آن قرار میگیرد. این مفهوم در بهینهسازی بسیار مهم است.
