نامعادله کوچکتر: کاوشی در رابطهی A
مفاهیم پایه، روشهای حل، کاربرد در نامعادلات خطی و درجهدوم، و چالشهای رایج
در این مقاله با مفهوم بنیادی نامعادلهی کوچکتر (A) آشنا میشویم. با بررسی خواص آن روی اعداد حقیقی، یاد میگیریم چگونه این رابطه را در نامعادلههای خطی، درجهدوم و قدرمطلقی بهکار ببریم. مثالهای گامبهگام و جداول مقایسهای به شما کمک میکنند تا تفاوت آن را با نامعادلهی بزرگتر و سایر نمادها درک کرده و با اطمینان بیشتری مسائل را حل کنید.
۱. تعریف و جایگاه نماد کوچکتر () در ریاضیات
در ریاضیات، برای نمایش رابطهی ترتیب میان اعداد از نمادهای خاصی استفاده میکنیم. نماد که آن را "کوچکتر" میخوانیم، بیان میکند که مقدار سمت چپ همواره از مقدار سمت راست کمتر است. برای نمونه $3 یک گزارهی درست است، زیرا 3 واقعاً از 5 کوچکتر است. این نماد یکی از چهار نماد اصلی در نامعادلات است که در کنار بزرگتر (>)، کوچکتر یا مساوی (≤) و بزرگتر یا مساوی (≥) تعریف میشود.
تمام اعداد حقیقی را میتوان روی محور اعداد مرتب کرد. جهت این محور از چپ (اعداد کوچکتر) به راست (اعداد بزرگتر) است. بنابراین گزارهی A یعنی مکان عدد A روی محور، سمت چپ مکان عدد B قرار دارد.
برخلاف رابطهی تساوی که متقارن است (اگر A=B آنگاه B=A)، رابطهی کوچکتر دارای خاصیت "نامتقارنی" است. یعنی اگر A ، آنگاه قطعاً B نادرست خواهد بود.
۲. خواص بنیادی نامعادلهی کوچکتر
برای دستکاری و حل نامعادلهها، باید قوانین مشخصی را رعایت کنیم. جدول زیر مهمترین ویژگیهای نامعادلهی A را خلاصه میکند. در این ویژگیها، A و B و C اعداد حقیقی هستند.
| نام ویژگی | بیان ریاضی | شرط |
|---|---|---|
| جمع با عدد ثابت | $A+C | همیشه برقرار |
| ضرب در عدد مثبت | $A \times C | $C > 0$ |
| ضرب در عدد منفی | $A \times C > B \times C$ | $C (جهت عوض میشود) |
| معکوسگیری | $\frac{1}{A} > \frac{1}{B}$ | اگر $A$ و $B$ همعلامت باشند |
| ترایا بودن[1] | اگر $A و $B آنگاه $A | همیشه برقرار |
۳. حل نامعادلات خطی ساده با نماد کوچکتر
برای حل یک نامعادله، هدف ما یافتن مجموعهای از اعداد است که نامعادله را برقرار میکنند. با یک مثال شروع میکنیم:
مثال ۱: نامعادله $2x + 5 را حل کنید.
- گام ۱: عدد 5 را از دو طرف کم میکنیم (خاصیت جمع): $2x .
- گام ۲: دو طرف را بر عدد مثبت 2 تقسیم میکنیم (خاصیت ضرب در عدد مثبت): $x .
- پاسخ: مجموعهی جواب تمام اعداد حقیقی کوچکتر از 4 است. یعنی $(-\infty, 4)$.
مثال ۲ (با عدد منفی): نامعادله $-3x را حل کنید.
- دو طرف را بر عدد منفی -3 تقسیم میکنیم. از آنجا که عدد منفی است، جهت نامعادله عوض میشود: $x > -3$.
- پاسخ: مجموعهی جواب تمام اعداد بزرگتر از -3 است. یعنی $(-3, \infty)$.
۴. کاربرد در نامعادلات درجهدوم و تحلیل علامت
برای حل نامعادلات درجهدومی که شامل نماد هستند، مانند $x^2 - x - 6 ، روش رایج، یافتن ریشههای معادلهی درجهدوم و سپس بررسی علامت عبارت در بازههای مشخص است.
- ابتدا معادلهی $x^2 - x - 6 = 0$ را حل میکنیم. ریشهها $x = -2$ و $x = 3$ هستند.
- ریشهها محور اعداد را به سه بازه تقسیم میکنند: $(-\infty, -2)$، $(-2, 3)$ و $(3, \infty)$.
- با انتخاب یک عدد آزمایشی از هر بازه (مثلاً -3، 0 و 4) علامت عبارت را بررسی میکنیم. عبارت فقط در بازهی میانی (-2,3) منفی میشود.
- پس جواب نامعادله $x^2 - x - 6 مجموعه $(-2, 3)$ است.
۵. نامعادلههای ترکیبی و قدرمطلق با نماد کوچکتر
رابطهی کوچکتر با قدر مطلق رابطهی نزدیکی دارد. میدانیم که $|A| (به شرط $B > 0$) معادل یک نامعادلهی دوطرفه است: $-B . این یک نمونهی عالی از کاربرد همزمان نماد کوچکتر است.
مثال: اگر $|2x - 1| ، آنگاه داریم:
- $-5 .
- به هر سه بخش نامعادله، عدد 1 را میافزاییم: $-4 .
- هر سه بخش را بر عدد مثبت 2 تقسیم میکنیم: $-2 .
- بنابراین مجموعهی جواب، بازهی $(-2, 3)$ است.
۶. مثال عینی: مقایسهی هزینهها در یک مسئلهی روزمره
فرض کنید قصد خرید یک بستهی اینترنتی دارید. شرکت اول مبلغ ثابت 200 هزار تومان و بهازای هر گیگابایت مصرف مازاد، 15 هزار تومان دریافت میکند. شرکت دوم مبلغ ثابت 140 هزار تومان و بهازای هر گیگابایت مازاد، 20 هزار تومان دریافت میکند. میخواهیم بدانیم برای چه میزان مصرف مازاد (x گیگابایت)، هزینهی شرکت اول از شرکت دوم کمتر است.
هزینهی شرکت اول: $200 + 15x$ (هزار تومان).
هزینهی شرکت دوم: $140 + 20x$ (هزار تومان).
میخواهیم:
- $200 - 140 →$60
- $12 یا به عبارتی $x > 12$
پس اگر مصرف مازاد شما بیش از 12 گیگابایت باشد، شرکت اول ارزانتر تمام میشود. این یک تصمیمگیری عملی با کمک نامعادلهی کوچکتر است.
۷. چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. برای مثال $-5 است، اما $(-5)^2 = 25$ از $1^2 = 1$ بزرگتر است. این ویژگی فقط برای اعداد نامنفی (هر دو $\ge 0$) برقرار است.
پاسخ: زیرا علامت $x$ نامشخص است. اگر $x$ منفی باشد، جهت نامعادله عوض میشود و جواب متفاوتی بهدست میآید. برای حل باید دو حالت $x>0$ و $x را جداگانه بررسی کرد.
پاسخ: این نامعادله پس از سادهسازی به $0 تبدیل میشود که همواره درست است. بنابراین مجموعهی جواب، تمام اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) است.
پاورقی
- [1]خاصیت ترایا (Transitive Property): در ریاضیات، به خاصیتی گفته میشود که اگر یک رابطه بین سه عنصر به صورت زنجیرهای برقرار باشد، بتوان رابطهی بین اولی و سومی را نتیجه گرفت. در نامعادلات، این خاصیت برای نمادهای ، >، ≤ و ≥ برقرار است.
