زاویه‌های متمم: رفیقان نود درجه‌ای
زاویه‌های متمم چیستند؟
در هندسه، به هر دو زاویه‌ای که مجموع اندازه‌های آن‌ها دقیقاً برابر با 90 درجه باشد، زاویه‌های متمم1 می‌گویند. به زبان ساده، این دو زاویه کنار هم قرار می‌گیرند و یک گوشه‌ی کاملاً مربع یا یک زاویه‌ی قائمه را تشکیل می‌دهند. عدد 90 درجه یک عدد خاص در ریاضیات است و به همین دلیل، این رابطه نیز بسیار خاص و مهم است.
برای مثال، اگر اندازه‌ی یکی از زاویه‌ها 30 درجه باشد، اندازه‌ی زاویه‌ی متمم آن را می‌توان از رابطه‌ی زیر به دست آورد:
یا به صورت نمادین: $α + β = 90°$
پس برای زاویه‌ی 30 درجه، خواهیم داشت: 30° + β = 90°. بنابراین، β = 90° - 30° = 60°. پس زاویه‌ی 60 درجه، متمم زاویه‌ی 30 درجه است.
چگونه زاویه‌های متمم را تشخیص دهیم؟
تشخیص زاویه‌های متمم معمولاً بسیار آسان است. اگر دو زاویه در یک شکل هندسی (مثلث، چهارضلعی) یا در یک مسئله‌ی روزمره دیدید که کنار هم یک گوشه‌ی کاملاً راست تشکیل می‌دهند، به احتمال زیاد با زاویه‌های متمم روبرو هستید. یک روش مطمئن‌تر، استفاده از فرمول بالا و انجام یک محاسبه‌ی ساده است.
جدول زیر نمونه‌هایی از زاویه‌های متمم را نشان می‌دهد:
| زاویه‌ی اول (α) | زاویه‌ی دوم (β) | بررسی رابطه (α + β = 90°) |
|---|---|---|
| 25° | 65° | $25 + 65 = 90$ متمم هستند |
| 47° | 43° | $47 + 43 = 90$ متمم هستند |
| 80° | 20° | $80 + 20 = 100$ متمم نیستند |
کاربرد زاویه‌های متمم در دنیای واقعی
شاید فکر کنید این مفهوم فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارد، اما اشتباه می‌کنید! زاویه‌های متمم همه جا در اطراف ما هستند.
مثال ۱: ساخت و ساز و معماری
معماران برای ایجاد گوشه‌های کاملاً مربع و قائم در ساختمان‌ها، دیوارها و پنجره‌ها از این مفهوم استفاده می‌کنند. برای مثال، وقتی یک نردبان را به دیوار تکیه می‌دهیم، زاویه‌ی بین نردبان و زمین و زاویه‌ی بین نردبان و دیوار، اگر ایمن باشد، باید با هم متمم باشند تا نردبان نیفتد.
مثال ۲: ورزش
در ورزش‌هایی مانند پاتیناژ یا اسکی، زمانی که ورزشکار می‌خواهد یک پیچ تند را طی کند، بدن خود را با زاویه‌ای خاص نسبت به زمین قرار می‌دهد. زاویه‌ی بین بدن او و یخ، و زاویه‌ی بین مسیر حرکت و بدنش، اغلب رابطه‌ی متمم دارند تا تعادل او حفظ شود.
مثال ۳: نور و بازتاب
در علم فیزیک، هنگامی که یک پرتو نور به یک آینه برخورد می‌کند، قانون بازتاب بیان می‌کند که زاویه‌ی تابش و زاویه‌ی بازتاب با زاویه‌ی عمود بر سطح آینه (که 90 درجه است) رابطه دارند و در بسیاری از موارد، این زاویه‌ها متمم هستند.
حل مسائل نمونه با زاویه‌های متمم
بیایید با هم چند مسئله‌ی ساده و پیشرفته‌تر را حل کنیم تا به موضوع مسلط شوید.
مسئله ۱ (ساده): اگر اندازه‌ی یک زاویه 15 درجه باشد، اندازه‌ی زاویه‌ی متمم آن چقدر است؟
راه‌حل: از فرمول پایه استفاده می‌کنیم: $α + β = 90°$. پس $15° + β = 90°$. بنابراین $β = 90° - 15° = 75°$.
مسئله ۲ (مرکب): در یک مثلث قائم‌الزاویه، یکی از زاویه‌های تند 2x و دیگری 3x است. اندازه‌ی این زاویه‌ها را پیدا کنید.
راه‌حل: می‌دانیم در مثلث قائم‌الزاویه، دو زاویه‌ی تند با هم متمم هستند. پس: $2x + 3x = 90°$ → $5x = 90°$ → $x = 18°$. بنابراین اندازه‌ی زاویه‌ها برابر است با: $2 \times 18 = 36°$ و $3 \times 18 = 54°$.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. شرط متمم بودن فقط به مجموع اندازه‌ها مربوط می‌شود. حتی اگر دو زاویه در دو شهر مختلف هم باشند، اگر مجموعشان 90 درجه شود، باز هم متمم محسوب می‌شوند. مجاورت، شرط لازم برای متمم بودن نیست.
پاسخ: این یک اشتباه رایج است. زاویه‌های متمم مجموعشان 90 درجه ($α + β = 90°$) می‌شود، در حالی که زاویه‌های مکمل2 مجموعشان 180 درجه ($α + β = 180°$) است. متمم برای ساخت زاویه‌ی قائمه و مکمل برای ساخت یک خط راست به کار می‌رود.
پاسخ: خیر. زیرا برای این کار باید $α + α = 90°$ باشد که می‌شود $2α = 90°$ و در نتیجه $α = 45°$. اما در تعریف، زاویه‌های متمم به دو زاویه‌ی متفاوت اشاره دارد. بنابراین حتی زاویه‌ی 45 درجه نیز برای خودش متمم محسوب نمی‌شود؛ بلکه باید زاویه‌ی دیگری با همین اندازه وجود داشته باشد تا با آن متمم باشد.
پاورقی
1 زاویه‌های متمم (Complementary Angles): به دو زاویه‌ای گفته می‌شود که مجموع اندازه‌های آن‌ها برابر با ۹۰ درجه باشد.
2 زاویه‌های مکمل (Supplementary Angles): به دو زاویه‌ای گفته می‌شود که مجموع اندازه‌های آن‌ها برابر با ۱۸۰ درجه باشد.