قاعده ریشه nامِ حاصلضرب: از تعریف تا کاربرد
۱. مفهوم پایهای: ریشه nام چیست؟
پیش از پرداختن به قاعده اصلی، بیایید نگاهی دقیقتر به مفهوم «ریشه nام» بیندازیم. ریشه nام عدد x، که با نماد $\sqrt[n]{x}$ نمایش داده میشود، عددی است مانند $r$ که اگر آن را به توان $n$ برسانیم، به $x$ برسیم. به عبارت دیگر: $r^n = x$.
برای مثال:
- $\sqrt[3]{8}=2$ زیرا $2^3 = 8$.
- $\sqrt[4]{16}=2$ زیرا $2^4 = 16$.
- $\sqrt[5]{-32}=-2$ زیرا $(-2)^5 = -32$.
نکته مهم اینجاست که اگر $n$ فرد باشد، ریشه nام برای اعداد منفی نیز تعریف میشود (مثال سوم). اما اگر $n$ زوج باشد، ریشه nام یک عدد منفی، در مجموعه اعداد حقیقی تعریفنشده است؛ زیرا هیچ عدد حقیقیای با توان زوج، منفی نمیشود. این تفاوت، هسته اصلی قاعده مورد بحث ماست.
۲. قاعده ریشه nام حاصلضرب: بیان و اثبات
قاعده ریشه nام حاصلضرب یکی از پرکاربردترین قواعد در سادهسازی عبارات رادیکالی است. این قاعده به زبان ریاضی به این صورت بیان میشود:
اما این تساوی همیشه و تحت هر شرایطی برقرار نیست. شرط برقراری آن به فرد یا زوج بودن $n$ وابسته است:
- اگر $n$فرد باشد: این قاعده برای همه اعداد حقیقی $a$ و $b$ (مثبت، منفی یا صفر) برقرار است.
- اگر $n$زوج باشد: این قاعده تنها زمانی برقرار است که $a \ge 0$ و $b \ge 0$ باشد.
چرا؟ دلیل این محدودیت به تعریف ریشه برمیگردد. در حالت زوج، خروجی $\sqrt[n]{a}$ همواره یک عدد نامنفی است (ریشه اصلی2). اگر $a$ یا $b$ منفی باشند، عبارت سمت راست (حاصلضرب دو عدد نامنفی) نامنفی خواهد بود، در حالی که سمت چپ ($\sqrt[n]{ab}$) تعریف نمیشود (چون $ab$ میتواند مثبت، منفی یا صفر باشد) یا اگر $ab$ مثبت باشد، جواب آن مثبت است، اما تساوی با سمت راست برقرار نیست. مثال نقض: $\sqrt{(-4)\times(-9)} = \sqrt{36} = 6$ در حالی که $\sqrt{-4} \times \sqrt{-9}$ در اعداد حقیقی تعریف نشده است.
۳. کاربرد عملی: سادهسازی عبارات و حل معادله
این قاعده به ما اجازه میدهد تا ریشه حاصلضرب دو عدد را به حاصلضرب ریشهها تبدیل کنیم و بالعکس. این ویژگی در سادهسازی عبارتهای جبری بسیار مفید است.
مثال ۱ (توان فرد): عبارت $\sqrt[3]{-8x^6}$ را ساده کنید.
با استفاده از قاعده برای $n=3$ (فرد) داریم: $\sqrt[3]{-8 \times x^6} = \sqrt[3]{-8} \times \sqrt[3]{x^6} = (-2) \times x^2 = -2x^2$.
مثال ۲ (توان زوج): عبارت $\sqrt{50a^4}$ را به شرط $a \ge 0$ ساده کنید.
$\sqrt{50a^4} = \sqrt{25 \times 2 \times a^4} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \times \sqrt{a^4} = 5 \times \sqrt{2} \times a^2 = 5a^2\sqrt{2}$.
مثال ۳ (حل معادله): معادله $\sqrt[4]{3x+1} \times \sqrt[4]{x-1} = 2$ را حل کنید.
با فرض اینکه عبارات زیر رادیکال نامنفی باشند ($3x+1\ge0$ و $x-1\ge0$)، از قاعده به صورت معکوس استفاده میکنیم: $\sqrt[4]{(3x+1)(x-1)} = 2$. با به توان $4$ رساندن دو طرف: $(3x+1)(x-1)=16$. با سادهسازی: $3x^2 -2x -1 =16$ یا $3x^2 -2x -17=0$. جواب این معادله درجه دوم $x = \frac{1 \pm \sqrt{1+51}}{3} = \frac{1 \pm 2\sqrt{13}}{3}$ است. با اعمال شرط $x\ge1$، جواب نهایی $x = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{3}$ خواهد بود.
| ویژگی | توان فرد ($n$ فرد) | توان زوج ($n$ زوج) |
|---|---|---|
| دامنه $a$ و $b$ | همه اعداد حقیقی | فقط اعداد نامنفی ($a\ge0, b\ge0$) |
| مفهوم ریشه برای اعداد منفی | تعریف شده (مثلاً $\sqrt[3]{-27}=-3$) | در اعداد حقیقی تعریف نشده (مثلاً $\sqrt{-4}$) |
| مثال نقض/تأیید | $\sqrt[3]{(-2)\times 4} = \sqrt[3]{-2} \times \sqrt[3]{4}$ (برقرار) | $\sqrt{(-4)\times(-9)} \neq \sqrt{-4} \times \sqrt{-9}$ (برقرار نیست) |
۴. چالشهای مفهومی
✅ پاسخ: اگر $a$ و $b$ هر دو منفی باشند، عبارت $\sqrt[n]{a}$ و $\sqrt[n]{b}$ در اعداد حقیقی تعریف نمیشوند. بنابراین سمت راست تساوی اصلاً معنایی ندارد. پس قاعده قابل اعمال نیست.
✅ پاسخ: خیر. از آنجایی که $n=2$ زوج است، $\sqrt{x^2}$ همواره نامنفی است. بنابراین تساوی صحیح $\sqrt{x^2} = |x|$ است (قدر مطلق $x$). این یک نتیجه مستقیم از قاعده و توجه به شرایط آن است.
✅ پاسخ: این تصور کاملاً اشتباه است. قاعده فقط برای ضرب (و همچنین تقسیم) برقرار است و برای جمع یا تفریق صدق نمیکند. دلیل آن به خواص توان و خطی نبودن عملگر ریشه برمیگردد. مثال نقض ساده: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25}=5$ در حالی که $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ و این دو با هم مساوی نیستند.
۵. چرا این قاعده مهم است؟ (جمعبندی)
پاورقیها
1نامنفی (Non-negative): به اعداد بزرگتر یا مساوی صفر گفته میشود. ( $ \ge 0 $ )
2ریشه اصلی (Principal Root): برای ریشههای زوج، ریشه اصلی همواره مقدار نامنفی است. برای مثال، معادله $x^2 = 4$ دو جواب $2$ و $-2$ دارد، اما ریشه اصلی $\sqrt{4}$ فقط $2$ است.
