عرض رأس سهمی: مقدار x مختصات رأس که برابر −b/(2a) است

تابع درجه دوم به شکل استاندارد $f(x)=ax^2+bx+c$ (با شرط $a \neq 0$) همواره نموداری به نام سهمی دارد. این نمودار یا به سمت بالا باز می‌شود (اگر $a \gt 0$) یا به سمت پایین (اگر $a \lt 0$). در هر دو حالت، سهمی دارای یک نقطهٔ عطف یا رأس است که بالاترین یا پایین‌ترین نقطهٔ نمودار محسوب می‌شود.

موقعیت این رأس در دستگاه مختصات توسط دو مؤلفه مشخص می‌شود: طول (مختصات x) و عرض (مختصات y). در میان این دو، عرض رأس (x-coordinate of the vertex) که با نماد $h$ نشان داده می‌شود، از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است؛ زیرا:

• محور تقارن سهمی را مشخص می‌کند. خط عمودی که از این نقطه می‌گذرد (معادله $x=h$) سهمی را به دو بخش کاملاً قرینه تقسیم می‌کند.
• مقدار تابع در این نقطه، یعنی $f(h)$، تعیین‌کنندهٔ بیشینه (اگر سهمی رو به پایین باشد) یا کمینه (اگر سهمی رو به بالا باشد) مطلق تابع است.
• در بسیاری از مسائل دنیای واقعی، این نقطه نمایانگر حالت بهینه است؛ مانند نقطه‌ای که در آن سود بیشینه یا هزینه کمینه می‌شود.

فرمول معروف $x=-\frac{b}{2a}$ از کجا می‌آید؟ پاسخ در تکنیک کامل کردن مربع (Completing the Square) نهفته است. این روش به ما اجازه می‌دهد تابع درجه دوم را به شکل رأس[۱] تبدیل کنیم.

با تابع $f(x)=ax^2+bx+c$ شروع می‌کنیم:

$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

برای کامل کردن مربع داخل پرانتز، عبارت $(\frac{b}{2a})^2$ را اضافه و کم می‌کنیم:

$f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2\right) + c$

سه جمله اول یک مربع کامل می‌سازند:

$f(x) = a\left((x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2\right) + c$

با ساده‌سازی:

$f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c$

$f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{ab^2}{4a^2} + c$

$f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$

اکنون تابع به شکل $f(x)=a(x-h)^2+k$ درآمده است که در آن $h=-\frac{b}{2a}$ و $k=c-\frac{b^2}{4a}$. بدین ترتیب، عرض رأس (h) دقیقاً برابر $-\frac{b}{2a}$ به دست می‌آید.

فرمول عرض رأس صرفاً یک ابزار تئوری نیست؛ بلکه در حل مسائل متنوعی به کار می‌آید. در ادامه چند مثال عینی بررسی می‌کنیم.

مثال ۱: تعیین رأس و محور تقارن

برای تابع $f(x)=2x^2-8x+5$، عرض رأس برابر است با:

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2 \times 2}=\frac{8}{4}=2$

بنابراین محور تقارن سهمی خط $x=2$ است. با جایگذاری در تابع، عرض رأس (y) نیز $f(2)=2(4)-16+5=-3$ به دست می‌آید. رأس در نقطه $(2, -3)$ قرار دارد و چون $a\gt0$، این نقطه کمینه تابع است.

مثال ۲: مسئله بهینه‌سازی در کسب‌وکار

یک شرکت تولیدکننده گوشی موبایل متوجه شده است که سود روزانه آن (بر حسب میلیون تومان) از رابطه $P(x)=-5x^2+200x-1500$ پیروی می‌کند، که در آن x تعداد گوشی‌های تولیدی (به هزار عدد) است. برای بیشینه کردن سود، چه تعداد گوشی باید تولید شود؟

چون $a=-5 \lt 0$، سهمی رو به پایین است و رأس آن نقطه بیشینه را نشان می‌دهد. عرض رأس:

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2 \times (-5)}=-\frac{200}{-10}=20$

بنابراین تولید 20 هزار گوشی (یعنی ۲۰۰۰۰ دستگاه) سود را بیشینه می‌کند. مقدار سود بیشینه نیز برابر $P(20)=-5(400)+4000-1500=500$ میلیون تومان است.

مثال ۳: حرکت پرتابه در فیزیک

فرض کنید توپی از سطح زمین با سرعت اولیه $v_0=30 \ \text{m/s}$ و زاویه $60^\circ$ پرتاب می‌شود. معادله ارتفاع توپ بر حسب زمان (با صرفنظر از مقاومت هوا) به صورت $h(t)=-\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \sin \theta)t$ است. با فرض $g=10 \ \text{m/s}^2$، داریم $h(t)=-5t^2 + (30 \times \frac{\sqrt{3}}{2})t \approx -5t^2 + 25.98t$.

زمان رسیدن به بیشترین ارتفاع، همان عرض رأس سهمی است:

$t_{max}=-\frac{b}{2a}=-\frac{25.98}{2 \times (-5)}=-\frac{25.98}{-10}=2.598 \ \text{ثانیه}$

با جایگذاری این زمان در معادله، حداکثر ارتفاع محاسبه می‌شود.

❓ اگر ضریب a برابر صفر باشد، چه اتفاقی برای فرمول عرض رأس می‌افتد؟

اگر $a=0$ باشد، تابع دیگر درجه دوم نیست و به یک تابع خطی تبدیل می‌شود. در این حالت سهمی وجود ندارد و مفهوم رأس بی‌معناست. فرمول $-\frac{b}{2a}$ نیز به دلیل تقسیم بر صفر تعریف‌نشده است.

❓ چگونه می‌توان تشخیص داد که عرض رأس، نقطه بیشینه است یا کمینه؟

برای تشخیص این موضوع باید به علامت ضریب $a$ توجه کرد. اگر $a \gt 0$ باشد، سهمی رو به بالا بوده و رأس نشان‌دهنده کمینه تابع است. اگر $a \lt 0$ باشد، سهمی رو به پایین بوده و رأس نشان‌دهنده بیشینه تابع است.

❓ آیا می‌توان عرض رأس را بدون استفاده از فرمول و صرفاً با نگاه به نمودار تخمین زد؟

بله، از آنجایی که محور تقارن سهمی، نمودار را به دو بخش قرینه تقسیم می‌کند، می‌توان دو نقطه متقارن روی سهمی (مثلاً دو ریشه) را پیدا کرد. عرض رأس دقیقاً در میانه این دو نقطه قرار دارد. اگر ریشه‌های معادله $x_1$ و $x_2$ باشند، آنگاه $x_{vertex} = \frac{x_1 + x_2}{2}$. این یک روش دیداری و سریع برای تأیید فرمول است.

❓ فرمول عرض رأس در توابع درجه دوم با ضرایب کسری یا اعشاری چگونه عمل می‌کند؟

فرمول کاملاً عمومی است و برای هر نوع ضریب حقیقی (اعشاری، کسری، گویا) کاربرد دارد. تنها نکته این است که عملیات جبری را با دقت انجام دهید. به عنوان مثال برای تابع $f(x)=0.5x^2-3.2x+1$، عرض رأس برابر $x=-\frac{-3.2}{2 \times 0.5}=\frac{3.2}{1}=3.2$ است.

[۱] شکل رأس (Vertex Form): در ریاضیات، به فرم $f(x)=a(x-h)^2+k$ که در آن $(h,k)$ مختصات رأس سهمی است، شکل رأس یا فرم استاندارد سهمی گفته می‌شود. این فرم مستقیماً موقعیت رأس و جهت بازشدگی سهمی را نشان می‌دهد.